GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Definição . 3.14 Circunferências tangentes e secantes.
Duas circunferências dizem-se tangentes se incidem num único ponto. Duas circunferências
dizem-se secantes se incidem em dois pontos.
Recorde-se que duas circunferências distintas incidem, no máximo, em dois pontos.
Teorema . 3.15 Caracterização das circunferências tangentes
Sejam C e C ′ duas circunferências com centros O e O ′ , respectivamente, e raios r e r ′ respectivamente.
As circunferências C e C ′ são tangentes se e só se se verifica alguma das igualdades
seguintes:
d = r +r ′
r = d+r ′
r ′ = d+r
com d = OO ′ , ou, equivalentemente, se se verifica d 2 = (r ±r ′ ) 2 .
(Demonstração)
Se C e C ′ são tangentes em P então O, P e O ′ devem sem colineares (se não fossem o ponto P ′
simétrico de P em relação à recta < O,O ′ > incidiria nas duas circunferências). Os três casos
possíveis O ∈ O ′ P, O ′ ∈ OP ou P ∈ OO ′ implicam as igualdades possíveis. Reciprocamente,
se se verificar alguma dessas três igualdades, é possível definir um único ponto incidindo em C
e C ′
O
O’
P
Por exemplo, se d = r + r ′ , considera-se um ponto P entre O e O ′ que verifique OP = r.
Note-se que, se existir um outro ponto P ′ incidindo em C e C ′ , ter-se-ia OP ′ = r, O ′ P ′ = r ′ e
como OO ′ = OP ′ +P ′ O ′ , o ponto P ′ está obrigatoriamente entre O e O ′ e assim P = P ′ .
Teorema . 3.16 Teorema das duas circunferências ou da continuidade circular
Sejam C e C ′ duas circunferências com centros O e O ′ , respectivamente, e raios r e r ′ respectivamente.
As circunferências C e C ′ são secantes se e só se se verificam as três condições
seguintes:
com d = OO ′ .
(Demonstração)
d < r +r ′ , r < d+r ′
O
P
O’
r ′ < d+r
Se C e C ′ são secantes num ponto P ter-se-á (desigualdade triangular)
d ≤ r +r ′
r ≤ d+r ′
r ′ ≤ d+r
E estas desigualdades devem ser estritas para as circunferências não serem tangentes (resultado
anterior).
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