GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

(Demonstração)
No primeiro caso, sejam a+ e b+ as bissectrizes interiores dos ângulos ∠CAB e ∠ABC. Estas
semi-rectas incidem num ponto I pelo V Postulado de Euclides (as rectas a e b formam com
< A,B > ângulos cuja soma é menor que π no semi-plano onde incidem a+ e b+), ponto I que
verifica ainda ser interior ao ângulo ∠BCA.
A
b+
C1
B
I
A1
B1
Se se considerarem os pés A1, B1e C1 das perpendiculares em I aos lados BC, AC e AB
verifica-se (segunda caracterização da bissectriz)
A1I ≡ C1I (b+ bissectriz em B)
B1I ≡ C1I (a+ bissectriz em A)
E então B1I ≡ A1I e a semi-recta com origem C e incidente em I é a bissectriz interior de
∠BCA, isto é c+.
Seja C a circunferência com cenro I e incidente em A1, B1 e C1. Como, por definição
desses pontos, as rectas < I,A1 > e < B,C > são perpendiculares (respectivamente, as rectas
< I,B1 > e < A,C > e as rectas < I,C1 > e < A,B >), a circunferência C é tangente ao
triângulo nos pontos A1, B1 e C1 (proposição anterior)
O outro caso (uma bissectriz interior e duas exteriores) é análogo.
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C