GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Proposição . 3.12 Sobre as tangentes à circunferência
Seja C uma circunferência de centro O. Então:
1. Uma recta r é tangente a C no ponto A se e só se r incide em A e as rectas < A,O >
e r são perpendiculares. Em particular, deduzimos que a tangente a uma circunferência
num ponto existe e é única.
2. Sejam r e r ′ tangentes a C em pontos A e A ′ respectivamente. A e A ′ são pontos diametralmente
opostos se e só se r e r ′ são paralelas.
3. Sejam rA e rB tangentes a C em pontos A e B respectivamente. Se A e B não são
pontos diametralmente opostos de C, rA e rB incidem num ponto P tal que semi-recta
com origem P e incidente em O bissecta o ângulo ∠APB e o ângulo ∠AOB.
(Demonstração)
1. Seja r uma recta tangente a C no ponto A. Suponha-se que r e < O,A > não são
perpendiculares e considere-se o ponto P, pé da perpendicular a r incidente em O. Notese
que O∈/ r (se O ∈ r o ponto diametralmente oposto a A, A ′ incidiria em r e r não seria
tangente) e podemos assim considerar o triângulo rectângulo △POA. Seja B o ponto na
semi-recta com origem P oposta a A e tal que BP ≡ PA. Os triângulos △PAO e △PBO
são congruentes (LAL) donde AO ≡ BO e então B incide em C e em r (absurdo).
Reciprocamente, seja A um ponto de C e r a recta perpendicular a < A,O > e incidente
em A. Suponha-se que existe um outro ponto B incidente em r e em C. Tem-se que
△BAO é um triângulo isósceles com dois ângulos rectos (absurdo).
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