GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Usando o teorema de Tales obtemos < C ′ ,A ′ > / < A,C ′′ > e < C ′ ,A > / < C ′′ ,A ′ >
e portanto C ′ A ′ C ′′ A é um paralelogramo com ∠C ′ AC ′′ recto, ou seja C ′ A ′ C ′′ A é um
rectângulo. Os ângulos ∠A ′ C ′ A e ∠A ′ C ′′ A são rectos e aplicando a alínea 5 da proposição
2.8 obtemos que C ′′ e C ′ incidem em C. Também, como ∠ADA ′ é recto (D é o pé da altura
no vértice A), pela mesma propriedade, D incide na circunferência C.
Suponha-se agora que o triângulo △ABC não é rectângulo, e considerem-se os quadriláteros
A ′ C ′ A ′′ C ′′
A
A’’
D
A ′ B ′ A ′′ B ′′
C’
B’ F
O
C
C’’
A’
B ′ C ′ B ′′ C ′′
Como C ′ é o ponto médio entre A e B, e A ′′ é o ponto médio entre A e H, pelo teorema de
Tales, obtem-se
< C ′ ,A ′′ > / < H,B >= hB
Analogamente, como A ′ é o ponto médio entre B e C, e C ′′ é o ponto médio entre C e H,
obtemos
< A ′ ,C ′′ > / < H,B >= hB
Em resumo < A ′ ,C ′′ > / < C ′ ,A ′′ > /hB. Com argumentos análogos obtém-se também
< A ′ ,C ′ > / < C,A > / < A ′′ ,C ′′ >
e então A ′ C ′ A ′′ C ′′ é um paralelogramo. Como os lados A ′ C ′ e A ′′ C ′′ são paralelos a < A,C >
e os lados C ′′ A ′ e A ′′ C ′ são paralelos à altura hB =< H,B > deduz-se que A ′ C ′ A ′′ C ′′ é, de
facto, um rectângulo.
Se considerarmos então a circunferência C que possui C ′ C ′′ como diâmetro, obtemos (alínea
5, da proposição 2.8) que A ′ e A ′′ incidem em C, verificando-se ainda que A ′ A ′′ é um diâmetro
de C (o ponto médio de A ′ A ′′ coincide com o ponto médio de C ′ C ′′ , que é o centro de C).
Poroutrolado, ∠A ′′ DA ′ érecto(D éopédaalturaemA)eentãoD incidenacircunferência
com diâmetro A ′ A ′′ , isto é, C.
Comargumentostotalmenteanálogos, obter-se-áqueB ′ eB ′′ incidemnacircunferênciacom
diâmetro C ′ C ′′ , isto é C, verificando-se também que B ′ B ′′ é um diâmetro de C. E, finalmente,
E e F incidem nessa circunferência por serem ∠B ′ EB ′′ e ∠C ′ FC ′′ rectos.
80
E
B’’
B