GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

3. O plano de incidência cujos pontos são os pontos da esfera de R 3 de raio 1 e cujas rectas
são os círculos máximos não verifica o axioma I-1.
4. O semi-plano de Poincaré
Considere um plano de incidência cujos pontos são os pontos do semi-plano H de R 2 com
segundacoordenadaestritamentepositiva, cujasrectassãoaintersecçãocomHdasrectas
afins de equação x = a (rectas afins verticais) e a intersecção com H das circunferências
cujo centro se situa no eixo dos xx. A relação de incidência é a relação usual de pertença.
Este plano de incidência, chamado semi-plano de Poincaré, verifica o grupo I de axiomas.
5. O Disco de Poincaré
Outro plano de incidência que verifica o grupo I de axiomas é o círculo de Poincaré.
Neste plano, o conjunto P de pontos é o interior ω do disco unitário U de R 2 (disco de
centro (0,0) e raio 1); o conjunto de rectas L é formado pelos diâmetros da circunferência
unidade (sem os extremos) e a intersecção com ω das circunferências de R 2 ortogonais a
U. A relação de incidência é a relação usual de pertença.
Salienta-se que, neste plano de incidência e no anterior, fixado um ponto P e uma recta
r não incidentes, existem infinitas rectas incidentes em P paralelas à recta r.
6. A figura seguinte que representa um plano de incidência com 6 pontos, 15 rectas cada
uma delas incidente em dois pontos. Este plano de incidência também verifica o grupo I
de axiomas.
7. O plano de incidência G = (P, L,I) em que P é o interior do círculo de R 2 de centro
(0,0) e raio 1, e as rectas são as cordas abertas (sem extremos) do círculo também verifica
o grupo I de axiomas.
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