GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Teorema . 3.11 O círculo dos nove pontos
Dado um triângulo do plano euclidiano tem-se que os pontos médios dos lados, os pés das alturas
do triângulo e os pontos médios entre os vértices e o ortocentro incidem numa circunferência
chamada circunferência de Feuerbach ou circunferência dos nove pontos.
(Demonstração)
Seja △ABC um triângulo, considerem-se
– A ′ , B ′ e C ′ os pontos médios de BC, CA e BA, respectivamente;
– hA, hB e hC as alturas do triângulo nos vértices A, B e C, respectivamente;
– D, E e F os pés das alturas hA, hB e hC, respectivamente;
– H o ortocentro do triângulo;
– A ′′ , B ′′ e C ′′ os pontos médios entre o ortocentro H e os vértices A, B e C, respectivamente.
Note-sequeospontosindicadosanteriormentenãosãonecessáriamentetodosdistintos. Analisarse-ão
separadamente dois casos, o triângulo ser rectângulo ou não.
O triângulo △ABC é rectângulo, com ∠CAB recto, se e só se se verificam as condições
equivalentes seguintes:
(i) A = H; (ii) E = F; (iii) C ′ = B ′′ ; (iv) C ′′ = B ′ .
Em particular, se △ABC é rectângulo, com ∠CAB recto, tem-se A = H = E = F = A ′′ .
(Resultados análogos aparecem quando o triângulo for rectângulo em ∠ABC ou em ∠BCA. )
B ′′ = C ′
A = H = E = F = A ′′
B
D
A ′
B ′ = C ′′
Suponha-se então que △ABC é rectângulo, com ∠CAB recto e considere-se C a circunferência
do plano que tem AA ′ como diâmetro (é a circunferência centrada no ponto médio
entre A e A ′ com raio AA′
2 ).
79
C