GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Definição . 3.9 Alturas
Num triângulo do plano euclidiano, as rectas incidentes num vértice e perpendiculares ao lado
oposto são chamadas alturas do triângulo.
Note-se que, se um triângulo for equilátero, as alturas são precisamente as mediatrizes
no lado oposto e portanto incidem num ponto (o circuncentro). Em geral, as alturas de um
triângulo incidem sempre num ponto chamado ortocentro. Provamos de seguida o caso em que
o triângulo não é equilátero.
Teorema . 3.10 Ortocentro e a recta de Euler
Num triângulo não equilátero do plano euclideano, as três alturas incidem num ponto, chamado
ortocentro do triângulo, colinear com o baricentro e o circuncentro. A recta determinada pelo
baricentro, circuncentro e ortocentro é chamada recta de Euler.
(Demonstração)
A
H
G
B
O
Sejam △ABC um triângulo, A ′ , B ′ e C ′ os pontos médios de BC, CA e BA, respectivamente,
G o baricentro e O o circuncentro. Saliente-se que um triângulo é equilátero se e só se O = G
(exercício) e portanto podemos supor que O=/ G e considerar a recta de Euler e =< O,G >.
Define-se o ponto H na recta e tal que −−→
GH = −2 −→
GO, ou equivalentemente, o ponto H na
semi-recta com origem G oposta a O tal que GH = 2GO. Note-se que, por construção, H
incide na recta de Euler e.
Considere-se hA a altura incidente no vértice A. Se A = H, então o ponto H incide na
altura hA, podemos supor então A=/ H. Neste caso, como o baricentro G está entre A e A ′ e
verifica GA = 2GA ′ , tem-se também que A ′ =/ O.
ComoGA = 2GA ′ eGH = 2GO,asrectas< H,A >e< O,A ′ >sãoparalelas,peloteorema
de Tales. Mas < O,A ′ > é a mediatriz no lado BC, portanto < H,A > é perpendicular ao lado
BC eassim< H,A >= hA. Emparticular, H incideemhA. Comosmesmosargumentosobterse-ia
que o ponto definido H incide em hB e hC, alturas nos vértices B e C respectivamente.
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A’
C