GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Definição . 3.6 Medianas
Num triângulo do plano euclidiano, as rectas incidentes num vértice e no ponto médio do lado
oposto são chamadas medianas do triângulo.
Teorema . 3.7 Baricentro
As três medianas de um triângulo incidem num ponto chamado baricentro ou centro de gravidade
do triângulo.
(Demonstração)
Sejam A ′ o ponto médio de BC e B ′ o ponto médio de AC.
A
G
B
B’
A’
Os segmentos AA ′ e BB ′ intersectam-se num ponto G (como A ′ ∈ BC, o ponto A ′ é interior
ao ângulo ∠BAC etc ...).
Considere-se o ponto T tal que B seja o ponto médio entre A e T. Pelo Teorema de Tales
< T,C > e < B,B ′ > são paralelas. Se P é o ponto de incidência de < T,C > com a recta
< A,A ′ >, de novo por Tales, verifica-se que G é o ponto médio entre P e A. E, ainda por
Tales, tem-se que A ′ é o ponto médio entre G e P (por ser ponto médio entre B e C). Em
resumo
AA ′ = AG+GA ′ = AG+ 1
2
T
C
P
1 3
GP = AG+ AG =
2 2 AG
donde AG = 2
3 AA′ .
Se considerarmos agora o ponto de intersecção G ′ das medianas AA ′ e CC ′ , usando um
raciocínio exactamente análogo, obter-se-ia que AG ′ = 2
3 AA′ donde G = G ′ .
Nota . 3.8
Salienta-se que o baricentro G situa-se em cada uma das medianas a um terço da distância do
ponto médio e dois terços do vértice. Usando a notação vectorial
−→
AG = 2−−→
AA
3
′ −−→ ′ 1−−→
A G = A
3
′ A
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