GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

5. Seja B um ponto não tal que ∠ABA ′ é recto. Considere-se o ponto médio M do segmento
AB.
B
A
M
O
Se se aplicar o teorema de Tales aos triângulos △AMO e △ABA ′ obtem-se
A ′
< M,O > / < B,A ′ >
Como∠ABA ′ érecto,pelaspropriedadesdoparalelismonageometriaeuclidiana(teorema
1.12) o ângulo ∠OMA também é recto. Usando o critério LAL obtemos então
△BMO ≡ △AMO
Em particular OB ≡ OA donde OB = λ e portanto B ∈ C.
6. Recorde-se que O pertence ao segmento AA ′ , portanto ∠BAO = ∠BAA ′ e O é interior
ao ângulo ∠ABA ′ .
A
B
O A’
Seja α = m∠BAO = m∠BAA ′ . Como △AOB é isósceles
A
m∠ABO = α
donde m∠AOB = π −2α. Os ângulos ∠AOB e ∠BOA ′ são suplementares e então
m∠BOA ′ = 2α
Mas △BOA ′ também é isósceles donde m∠OBA ′ = m∠OA ′ B. Assim
π = m∠A ′ OB +m∠OBA ′ +m∠BA ′ O = 2α+2m∠OBA ′
donde m∠OBA ′ = π
−α e então
2
m∠ABA ′ = m∠ABO +m∠OBA ′ = π
2
75
O
B
A’