GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

9. Descrição analítica das circunferências
Seja C uma circunferência de centro O = (ω1,ω2) e C raio λ. C é dada analíticamente
por
C = {(x,y) ∈ R 2 : (x−ω1) 2 +(y −ω2) 2 = λ 2 }
A aplicação contínua 5 ω : R −→ R 2 definida por
verifica:
ω(t) = (λ(cos2πt)+ω1,λ(sin2πt)+ω2)
(a) ω(t) = ω(t ′ ) se e só se t−t ′ = k, com k ∈ Z;
(b) ω(R) = C (o conjunto imagem é a circunferência C).
(Demonstração)
1. SejaA ′ opontonasemi-rectadeorigemO opostaàincidenteemAqueverificaA ′ O = AO.
Por construção, A ′ incide em C e O é o ponto médio entre A e A ′ .
Suponha-se que existe B na circunferência C, colinear com O e A. Note-se que OA =
OB = λ. Há três posibilidades, O ∈ AB, A ∈ OB ou B ∈ OA.
Se O ∈ AB tem-se que B incide na semi-recta com origem O oposta à incidente em A e
verifica OB = OA, portanto B = A ′ .
Se A ∈ OB tem-se OB = OA + AB, donde OB > OA (absurdo). Se B ∈ OA tem-se
OA = OB +BA donde OA > OB (absurdo).
2. Se A e B não são diametralmente opostos então O,A e B não são colineares (alínea
anterior) e pode-se considerar o triângulo △AOB que verifica OB = λ = OA. Assim,
OA ≡ OB e △AOB é isósceles.
5 De facto trata-se de uma aplicação analítica.
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