GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

I. Axiomas de incidência.
I-1 Para quaisquer dois pontos A e B, existe uma e uma só recta que incide com A e B.
I-2 Toda recta incide, pelo menos, com dois pontos.
I-3 Existem, pelo menos, três pontos não incidentes com a mesma recta.
Definição . 1.3 Pontos colineares, rectas paralelas
• Num plano de incidência, chamamos pontos colineares aos pontos que incidem na mesma
recta.
• Num plano de incidência, dizemos que duas rectas são paralelas quando são iguais ou
quando não existir nenhum ponto que incida com ambas duas.
Note-se que o axioma I-1 significa que dois pontos são sempre colineares e o axioma I-3 que
existem três pontos não colineares. O axioma I-1 também implica que dois pontos A e B
determinam uma única recta, assim, dados A e B designar-se-á frequentemente por < A,B >
a única recta que incide em A e em B.
Proposição 1.4 Consequências dos axiomas de incidência
Num plano de incidência que verifica o grupo I de axiomas:
1. Duas rectas distintas incidem num único ponto ou são paralelas;
2. Existem pelo menos duas rectas;
3. Para toda recta existe, pelo menos, um ponto não incidente com ela. Em particular,
dados dois pontos existe um terceiro não colinear com eles;
4. Para todo ponto existe, pelo menos, uma recta não incidente com ele;
5. Dadas duas rectas, existe uma outra recta não paralela a nenhuma das anteriores.
Exemplos . 1.5
1. A figura seguinte representa um plano de incidência com 7 pontos e 7 rectas que verifica
o grupo I de axiomas.
2. O planos afim real e o plano projectivo real verificam o grupo I de axiomas. O plano
vectorial não verificaI-1, mas verificaI-2eI-3. Finalmente, oprimeiroplano de incidência
desses exemplos verifica I-3, mas não I-1 nem I-2.
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