GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

4. Terceira caracterização de paralelogramo.
Sejam ABCD um paralelogramo e M o ponto de intersecção das diagonais AC e BD.
Usando as notações e os resultados das alíneas anteriores tem-se
β1 = m∠ABM = m∠MDC β2 = m∠CBM = m∠MDA
De maneira análoga, se definirmos α1 = m∠DAM e α2 = m∠MAB tem-se também
α1 = m∠BCM e α2 = m∠MCD
D
β2
β1
A
α2
α1
M
α1
α2
C
β1 β2
Usando a alínea anterior e o critério ALA deduz-se
△ABM ≡ △CDM e △ADM ≡ △CBM
Em particular, AM ≡ CM e DM ≡ BM.
Reciprocamente, seja ABCD um quadrilátero não degenerado tais que AC e BD incidem
no ponto médio M. O quadrilátero ABCD é então um quadrilátero convexo.
Note-se que os ângulos ∠AMB e ∠CMD são verticalmente opostos e portanto congruentes
(e análogamente os ângulos ∠BMC e ∠DMA). Usando o critério LAL, deduzem-se
as congruências:
△AMB ≡ △CMD e △BMC ≡ △DMA
Em particular, AB ≡ DC e BC ≡ AD. Pelo segundo critério, o quadrilátero convexo
ABCD é um paralelogramo.
5. O Teorema de Varignon.
Seja ABCD um quadrilátero convexo. Considerem-se A ′ , B ′ , C ′ e D ′ os pontos médios
dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente.
A
A ′
D
D ′
C ′
O quadrilátero A ′ B ′ C ′ D ′ é não degenerado por ser ABCD não degenerado e convexo.
Usando o Teorema de Tales tem-se
B
B
B
C
′
< D ′ ,A ′ > / < D,B > / < C ′ ,B ′ > e < A ′ ,B ′ > / < A,C > / < D ′ ,C ′ >
E o teorema de Varignon deduz-se assim da primeira caracterização de paralelogramo.
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