GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

2. Primeira caracterização de paralelogramo
Suponha-se ABCD um paralelogramo, por razões análogas à alínea anterior tem-se que
Sejam
Note-se que
m∠ABC = m∠ABD +m∠DBC e m∠CDA = m∠BDA+m∠CDB
α = m∠DAB = m∠BCA β = m∠ABC = m∠CDA
β1 = m∠ABD β2 = m∠DBC δ1 = m∠CDB δ2 = m∠BDA
D
δ2
δ1
A
α
α
C
β1 β2
β = β1 +β2 = δ1 +δ2, α+β1 +δ2 = π e α+β2 +δ1 = π
donde β1 = δ1 e β2 = δ2. Pelo teorema 3.22 do capítulo anterior,
< A,B > / < D,C > e < B,C > / < A,D >
Reciprocamente, se A, B, C e D verificam as condições do enunciado, usando a caracterização
de paralelismo do capítulo anterior (exercício 2.17, alínea 5) obtemos que o
quadrilátero ABCD é convexo. Os ângulos opostos são congruentes como consequência
da caracterização das paralelas na geometria euclidiana (teorema 1.12).
3. Segunda caracterização de paralelogramo.
Seja ABCD um paralelogramo. Usando as notações da alínea anterior, como β1 = δ1,
β2 = δ2 e BD é um lado comum, os triângulos △ABD e △CDB são congruentes (critério
ALA) donde AB ≡ CD e DA ≡ CB.
Reciprocamente, usando o critério LLL, tem-se que △ABD ≡ △CDB donde
∠DAB ≡ ∠BCD, ∠ABD ≡ ∠CDB e ∠ADB ≡ ∠CBD
Como o quadrilátero é convexo,
m∠ABC = m∠ABD +m∠DBC e m∠ADC = m∠ADB +m∠CDB
e então também se verifica
B
∠ABC ≡ ∠ADC
Em resumo, ∠DAB ≡ ∠BCD e ∠ABC ≡ ∠ADC, portanto ABCD é um paralelogramo.
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