GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

(Demonstração)
Se AB′
AB
= AC′
AC os triângulos △ABC e △AB′ C ′ são semelhantes (proposição 2.4). Os ângulos
∠AB ′ C ′ e ∠ABC são então congruentes e portanto < B,C > e < B ′ ,C ′ > são paralelas
(teorema 3.22 do capítulo anterior).
Reciprocamente, suponham-se < B,C > e < B ′ C, ′ > paralelas. Podemos definir o ponto C ′′
na semi-recta de origem A incidente em C ′ que verifica
C
A B
C ′′
C ′
B
′
AC AB
=
AC ′′ AB ′
B
C
C
′′
A
B ′
As rectas < B,C > e < B ′ ,C ′′ > são paralelas (parte anterior do corolário) mas, por
hipótese, < B ′ ,C ′ > é paralela a < B,C > e incide em B ′ logo < B ′ ,C ′ >=< B ′ ,C ′′ > e
portanto C ′ = C ′′ .
Teorema . 2.6 Caraterizações de triângulos semelhantes
Sejam ∆ABC e ∆A ′ B ′ C ′ dois triângulos de R2 . Há equivalência entre:
1. ∆ABC e ∆A ′ B ′ C ′ são semelhantes
2. ∆ABC e ∆A ′ B ′ C ′ têm dois pares de ângulos congruentes
3. AB
A ′ B
(Demonstração)
AC
= ′ A ′ BC
=
C ′ B ′ C ′
(1. ⇒ 2.) directa.
(2. ⇒ 3.) Suponha-se que ∠CAB ≡ ∠C ′ A ′ B ′ e ∠ABC ≡ ∠A ′ B ′ C ′ . Definam-se os pontos
B ′′ e C ′′ nas semi-rectas de origem A e incidentes em B e C respectivamente, que verificam
AB ′′ ≡ A ′ B ′ e AC ′′ ≡ A ′ C ′ .
C
A B
C ′′
B
′′
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A
′
C ′
B
′
C
′