GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Como a < b+c então a2 < b2 +c2 +2bc donde −1 = −2bc
2bc < b2 +c2 −a2 . Suponha-se
2bc
que b > c (o caso c < b é análogo), como 0 < b−c < (a+c)−c tem-se b2 +c2 −2bc < a2 donde
b2 +c2 −a2 Considere-se então α = b2 +c 2 −a 2
2bc
< 2bc
= 1
2bc
que verifica −1 < α < 1. Podemos então definir o
2bc
triângulo A = (0,0), C = (b,0) e B = (cα,c √ 1−α 2 ) e tem-se que AB = c, AC = b e
BC = a.
A = (0,0)
B = (cα,c √ 1−α 2 )
c a
b
C = (b,0)
Note-se que a existência de UM triângulo nessas condições permite assegurar (usando os
axiomasdecongruênciaeocritérioLAL)aexistênciadeumtriângulo△A ′ B ′ C ′ quaisquer
que sejam os pontos A ′ e B ′ verificando A ′ B ′ = c.
Teorema 2.2 A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é π.
(Demonstração)
Seja r ′ a recta paralela à recta < B,C > e incidente em A.
B ′
B
A
C ′
C
Considerem-se os pontos C ′ e B ′ incidentes em r ′ e tais que C ′ incide no semi-plano definido
por < A,B > incidente em C e B ′ incide no semi-plano definido por < A,C > incidente em
B. Pelo teorema 1.12, tem-se as congruências
∠C ′ AC ≡ ∠ACB e ∠B ′ AB ≡ ∠ABC
Aplicando as propriedades da medida de ângulos obtemos
m∠ABC +m∠BCA+m∠CAB = π
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