GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

2 Triângulos e quadriláteros
No plano euclideano R 2 :
• Dados A, B e C três pontos não colineares, recorde-se que chamamos triângulo e designamos
por ∆ABC ao subconjunto de R 2
∆ABC = AB ∪BC ∪CA
Os pontos A B e C são chamados vértices do triângulo, os segmentos AB, BC e CA lados
do triângulo e os ângulos ∠BCA, ∠ABC e ∠CAB ângulos interiores do triângulo. Os suplementares
de um ângulo interno são chamados ângulos exteriores do triângulo.
B
AB
A
BC
AC
C
• Um triângulo diz-se isósceles quando tiver dois lados congruentes ou, equivalentemente,
dois ângulos. Um triângulo diz-se equilátero quando tiver os três lados congruentes.
B
Proposição . 2.1 Desigualdade triangular e existência de triângulos
1. Se A, B e C formam um triângulo então:
com AB = c, BC = a e CA = b.
A
a+b > c, b+c > a e c < a+b
2. Se a, b e c são três reais positivos tais que a+b > c, b+c > a e c < a+b então existe
um triângulo △ABC tal que AB = c, BC = a e CA = b.
(Demonstração)
1. Directa da desigualdade triangular verificada pelo norma usual de R 2 .
2. O objetivo é construir um triângulo cujos lados tenham as medidas exigidas. Observe-se
que, pelo teorema dos cossenos, o cosseno do ângulo no vértice A deve ser igual a
b 2 +c 2 −a 2
2bc
Em particular este quociente deve estar entre -1 e 1. As desigualdades indicadas asseguram
esta condição:
61
C