GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar
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4. Caracterização analítica da mediatriz de um segmento e dos semi-planos por ela definidos Sejam A e A ′ dois pontos distintos. (a) Verifique analíticamente que existe um único ponto P colinear com A e A ′ verificando AP = A ′ P (que é o ponto médio entre A e A ′ ); (b) Verifique analíticamente que dado λ > 0 existem exactamente dois pontos P1 e P2, colineares com A e A ′ , tais que APi = λA ′ Pi, um deles interior ao segmento e outro exterior. (c) Prove que se P incide na mediatriz m do segmento AA ′ se e só se AP = A ′ P. P M A A′ (Sugestão: aplicar LAL, teorema do triângulo isósceles ...) (d) Prove que P incide no semi-plano definido por m incidente em A ′ se e só se AP > A ′ P. (Sugestão: considerar os triângulos △PMA e △PMA ′ , com M o ponto médio entre A e A ′ , usar o teorema dos cossenos ...) 60
2 Triângulos e quadriláteros No plano euclideano R 2 : • Dados A, B e C três pontos não colineares, recorde-se que chamamos triângulo e designamos por ∆ABC ao subconjunto de R 2 ∆ABC = AB ∪BC ∪CA Os pontos A B e C são chamados vértices do triângulo, os segmentos AB, BC e CA lados do triângulo e os ângulos ∠BCA, ∠ABC e ∠CAB ângulos interiores do triângulo. Os suplementares de um ângulo interno são chamados ângulos exteriores do triângulo. B AB A BC AC C • Um triângulo diz-se isósceles quando tiver dois lados congruentes ou, equivalentemente, dois ângulos. Um triângulo diz-se equilátero quando tiver os três lados congruentes. B Proposição . 2.1 Desigualdade triangular e existência de triângulos 1. Se A, B e C formam um triângulo então: com AB = c, BC = a e CA = b. A a+b > c, b+c > a e c < a+b 2. Se a, b e c são três reais positivos tais que a+b > c, b+c > a e c < a+b então existe um triângulo △ABC tal que AB = c, BC = a e CA = b. (Demonstração) 1. Directa da desigualdade triangular verificada pelo norma usual de R 2 . 2. O objetivo é construir um triângulo cujos lados tenham as medidas exigidas. Observe-se que, pelo teorema dos cossenos, o cosseno do ângulo no vértice A deve ser igual a b 2 +c 2 −a 2 2bc Em particular este quociente deve estar entre -1 e 1. As desigualdades indicadas asseguram esta condição: 61 C
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4. Caracterização analítica da mediatriz de um segmento e dos semi-planos por ela definidos<br />
Sejam A e A ′ dois pontos distintos.<br />
(a) Verifique analíticamente que existe um único ponto P colinear com A e A ′ verificando<br />
AP = A ′ P (que é o ponto médio entre A e A ′ );<br />
(b) Verifique analíticamente que dado λ > 0 existem exactamente dois pontos P1 e P2, colineares<br />
com A e A ′ , tais que APi = λA ′ Pi, um deles interior ao segmento e outro exterior.<br />
(c) Prove que se P incide na mediatriz m do segmento AA ′ se e só se AP = A ′ P.<br />
P<br />
M<br />
A A′<br />
(Sugestão: aplicar LAL, teorema do triângulo isósceles ...)<br />
(d) Prove que P incide no semi-plano definido por m incidente em A ′ se e só se AP > A ′ P.<br />
(Sugestão: considerar os triângulos △PMA e △PMA ′ , com M o ponto médio entre A e A ′ ,<br />
usar o teorema dos cossenos ...)<br />
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