GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Recorde-se ainda que o produto interno num espaço vectorial permite definir uma norma.
No plano vectorial real R 2 munido do produto interno usual define-se a norma de um vector
v ∈ R 2 , que se designa por v como v = √ v·v. A norma verifica:
1. v ≥ 0;
2. v = 0 se e só se v = 0;
3. λv| = |λ|v;
4. |v·w| ≤ v w (desigualdade de Cauchy-Schwarz) e tem-se a igualdade se e só se v e
w são proporcionais;
5. v+w ≤ v+w (desigualdade triangular) e tem-se a igualdade se e só se v = λw
com λ ≥ 0
Nota 1.15 Trigonometria
Assumimos 3 a existência de uma função chamada cosseno que a cada número real α faz
corresponder um valor de [−1,1]. Lembramos de seguida as propriedades principais desta
função real cosseno e de outra função real, chamada seno, estreitamente ligada à anterior.
As funções definidas em R com contradomínio [−1,1], que chamamos cosseno e seno, e designamos
por cos e sin, respectivamente, verificam as seguintes propriedades:
1. A função cos é par, periódica de período 2π e admite derivadas de qualquer ordem em
qualquer ponto do domínio.
2. A função sin é ímpar, periódica de período 2π e admite derivadas de qualquer ordem em
qualquer ponto do domínio.
3. (Identidade Fundamental) sin 2 α+cos 2 α = 1 ∀α ∈ R
Verifica-se também que, dados a, b ∈ R tais que a 2 +b 2 = 1, existe um único α ∈ [0,2π[
tal que a = cosα e b = sinα.
4. (Formulário de trigonometria.)
⎧
⎨
⎩
sin(α+β) = sinαcosβ +cosαsinβ
cos(α+β) = cosαcosβ −sinαsinβ
∀α,β ∈ R
3 Existem várias definições “formais”das funções trigonométricas seno ecosseno: como uma sériedepotências,
como solução de certa equação diferencial, como a inversa de certa função integral. Também se deveria definir
formalmente o número real π. Tudo isto se pode encontrar nos livros de análise real!
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