GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Nota 1.13 Geometria Analítica em R 2
• Equações das rectas afins
A equação ax+by+k = 0 diz-se uma equação cartesiana da recta afim r e a recta vectorial
ax+by = 0 diz-se recta vectorial associada a r. Se P = (p1,p2) é um ponto incidente em r e
v = (v1,v2) é um vector gerador da recta vectorial associada a r, a expressão r ≡ P+ < v >
diz-se uma equação vectorial de r. Um ponto M = (x,y) incide em r se e só se existir λ ∈ R
tal que: x = p1 +λv1
y = p2 +λv2
Estas equações são chamadas equações paramétricas da recta r.
• Paralelismo em R 2
Duas rectas de equações cartesianas ax+by +k = 0 e a ′ x+b ′ y +k ′ = 0 são paralelas se e
só se (a,b) e (a ′ ,b ′ ) são proporcionais. Usando as equações vectoriais, as rectas r ≡ P+ < v >
e r ′ = P ′ + < v ′ > são paralelas se só se v e v ′ são proporcionais.
• Recta incidente em dois pontos
Sejam A = (a1,a2) e B = (b1,b2) dois pontos distintos de R 2 . A recta r,
r ≡ A+ < −→
AB >= (a1,a2)+ < (b1 −a1,b2 −a2) >
ou, equivalentemente, a recta r definida pela equação cartesiana
x−a1 y −a2
det = 0
incide em A e em B.
b1 −a1 b2 −a2
Nota 1.14 Produto escalar e norma usual em R 2
No plano vectorial real R 2 recorde-se que o produto escalar usual ou produto interno usual,
designado por · é a aplicação (R 2 ) × (R 2 ) −→ R definida por v · w = v1w1 + v2w2, sendo
v,w ∈ R 2 , v = (v1,v2) e w = (w1,w2).
Dados u,v, e w vectores de R 2 tem-se:
1. (u+v)·w = u·w+v·w;
2. u·(v+w) = u·v+u·w;
3. u·(λw) = λ(u·w) = (λu)·w;
4. v·w = w·v;
5. v·v ≥ 0;
6. se u·v = 0, ∀v ∈ R 2 , então u = 0.
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