GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

O Teorema indicado de seguida é o recíproco (válido unicamente na geometria euclidiana) do
teorema 3.21 sobre as paralelas na geometria absoluta.
Teorema 1.12 Paralelismo na geometria euclideana
1. A relação de paralelismo é uma relação de equivalência no conjunto das rectas;
2. Sejam r e r ′ duas rectas distintas de um plano euclideano incidentes numa terceira recta
s em pontos O e O ′ respectivamente. Considerem-se r+ e r ′ − as semirectas de origem O e
O ′ , com suporte r e r ′ , respectivamente, situadas em semiplanos opostos definidos por s.
Sejam sO e sO ′ as semirectas de origem O e O′ que não incidem O ′ e O, respectivamente.
r
r ′
sO ′
r ′ +
O ′
Então, se as rectas r e r ′ são paralelas, os ângulos ∠{sO,r+} e ∠{sO ′,r′ −} são congruentes;
3. Sejam r e r ′ duas rectas paralelas. Uma recta s é perpendicular a r se e só se é perpendicular
a r ′ .
(Demonstração)
1. A reflexividade e simetria são directas da definição de paralelismo (o problema na geometria
absoluta está na transitividade) Sejam r ′ e r ′′ paralelas a uma recta r. Se r ′ e r ′′
não são paralelas entre si, existe um ponto P incidente em r ′ e r ′′ . Assim, existem duas
rectas incidentes em P e paralelas a r (absurdo).
2. Sejam r e r ′ paralelas. Usando o axioma III-3, podemos definir uma semi-recta r ′′ + com
origem o ponto O ′ , incidente no semi-plano definido por s oposto ao incidente em r+, e tal
que ∠{r ′′ +,sO ′} ≡ ∠{sO,r+}. Pelo teorema 3.21 (capítulo I), a recta r ′′ é então paralela
a recta r e incide em O ′ . Usando o axioma de Playfair, r ′′ = r ′ e assim r ′ e r formam
ângulos correspondentes iguais.
3. Sejam r e r ′ rectas paralelas, e s uma perpendicular a r no ponto O. Note-se que r ′ e
s não são paralelas, pois, pela alínea 1, se fossem, ter-se-ia que s é paralela também a r
(absurdo). Seja O ′ o ponto de incidência de r ′ e s. Pelo alínea anterior, como r e r ′ são
paralelas, os ângulos correspondentes são congruentes e portanto, s é perpendicular a r ′ .
56
O
sO
r+