GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Designemos
α = m∠{h+,r+} β = m∠{r+,k+} γ = m∠{h+,k+}
Como α < γ, tem-se 0 < γ −α < π e então
γ = α+β ⇐⇒ β = γ −α ⇐⇒ cosβ = cos(γ −α)
O
β
γ
α
Sejam u,v e w os vectores unitários respectivos das semi-rectas h+, r+ e k+. Note-se que,
α,β,γ ∈]0,π[ e verificam
cosα = cos{h+,r+} = u·v
k+
r+
h+
cosβ = cos{r+,k+} = v·w
cosγ = cos{h+,k+} = u·w
Como r+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+} existem λ,µ ∈ R + tais que v = λu+µw. Tem-se
1 = v·v = λ 2 +µ 2 +2λµcosγ
cosβ = v·w = λcosγ +µ
cosα = u·v = λ+µcosγ
Usando a primeira e a terceira igualdade podemos deduzir
sinα = 1−cos 2 α = 1−µ 2 cos 2 γ −λ 2 −2λµcosγ = µ( 1−cos 2 γ)
E tem-se também sinγ = 1−cos 2 γ. Usando a conhecidas fórmulas trigonométricas e os
resultados anteriores obtem-se:
cos(γ −α) = cosγcosα+sinγsinα = cosγ(λ+µcosγ)+µ(1−cos 2 γ) = µ+λcosγ = cosβ
Definição . 1.11 Medida de ângulos
Sejamh+ ek+ duas semi-rectasdeorigemO comvectoresdirectoresunitáriosvew. Definimos
a medida do ângulo ∠{h+,k+}, e designamos por m∠{h+,k+} como :
m∠{h+,k+} = arccos(v·w)
55