GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

A função composta
A cos
−→]−1,1[ arccos
−→ ]0,π[
permite identificar cada classe de ângulos congruentes do plano com um escalar α ∈]0,π[. De
facto, esta aplicação é uma medida no conjunto de ângulos.
(Nofinaldasecção,nanota1.15,lembram-seaspropriedadesbásicasdasfunçõestrigonométricas
e trigonométricas inversas)
Proposição 1.10 Medida de ângulos
A aplicação m∠ : A −→]0,π[ definida pela composta m∠ := arccos ◦ cos verifica:
1. dois ângulos ∠{h+,k+} e ∠{m+,n+} são congruentes se e só se
2. se r+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+} então
m∠{h+,k+} = m∠{m+,n+};
m∠{h+,k+} = m∠{h+,r+}+m∠{r+,k+};
3. um ângulo é recto se e só se a medida for π/2;
4. a soma das medidas de dois ângulos suplementares é π.
Em particular, m∠ é uma medida de ângulos.
(Demonstração)
As propriedades 1, 3 e 4 são directas a partir da proposição 1.6 e das propriedades da função
arco-cosseno (consultar nota 1.15).
Sejam h+, k+ e r+ semi-rectas de origem O tais que r+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+}.
Pela proposição 1.6, tem-se que
−1 < cos∠{h+,k+} < cos∠{h+,r+} < 1
e então, como o arco-cosseno é uma função decrescente
π > m∠{h+,k+} > m∠{h+,r+} > 0
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