GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar
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3. Sejam u, v e w os vectores directores unitários das semi-rectas h+, r+ e k+, respectivamente. Se a semi-recta r+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+} tem-se que com λ,µ ∈ R + (exercícios 1.16). v = λu+µw Seja K = cos∠{h+,k+} = u·w. Pelas propriedades do produto escalar, como u e w são vectores unitários, É preciso provar então que cos{h+,r+} = u·v = u·(λu+µw) = λ+µK λ+µK > K (∗) Note-se que, como v é um vector unitário, os escalares positivos λ e µ verificam ainda 1 = v 2 = v·v = λ 2 +µ 2 +2λµK (1) Considerem-se separadamente os casos 0 < K < 1 e −1 < K < 0 (se K = 0 a desigualdade (*) é directa já que λ > 0). Se 0 < K < 1, tem-se, em particular, que µ < 1 (desigualdade (1)) Assim,usando ainda (1), λ+µK > K ⇔ (λ+µK) 2 > K 2 ⇔ λ 2 +µ 2 K 2 +2λµK > K 2 ⇔ 1−µ 2 +µ 2 K 2 > K 2 ⇔ 1−µ 2 > (1−µ 2 )K 2 Se −1 < K < 0, podemos supor µ > 1 e λ+µK < 0. (Se µ ≤ 1 ou λ+µK ≥ 0 a desigualdade (*) é directa) Usando argumentos análogos aos anteriores obtemos Teorema 1.7 Teorema dos cossenos Seja △ABC um triângulo do plano. Verifica-se λ+µK > K ⇔ (λ+µK) 2 < K 2 ⇔ λ 2 +µ 2 K 2 +2λµK < K 2 ⇔ 1−µ 2 +µ 2 K 2 < K 2 ⇔ 1−µ 2 < (1−µ 2 )K 2 BC 2 = AB 2 +AC 2 −2(AB)(AC)cos∠BAC (Demonstração) Directa, usando que −→ BC = −→ BA+ −→ AC e as propriedades do produto escalar. 52
Corolário 1.8 O Teorema de Pitágoras Seja △ABC um triângulo do plano. O ângulo ∠BAC é recto se e só se (Demonstração) BC 2 = AB 2 +AC 2 Directa, recorde-se que o ângulo ∠BAC é recto se e só se cos∠BAC = 0. Teorema . 1.9 O plano R 2 verifica os axiomas de incidência, ordem, continuidade, congruência, continuidade e o axioma das paralelas de Playfair. Este teorema foi provado quasi na totalidade nos exercícios do capítulo anterior. O esquema de demonstração dos axiomas III-3 e III-4 apresenta-se nos exercícios. Em resumo ATENÇÃO!!!! O plano R 2 é um modelo analítico do plano euclidiano O “cosseno” do ângulo definido por duas semi-rectas é simplesmente um número real associado a cada ângulo geométrico do plano, ou seja, se A designa o conjunto de ângulos do plano, cos é uma aplicação cos : A −→]−1,1[ e NÃO a função real de variável real chamada cosseno. Existe, obviamente, uma ligação entre estas duas aplicações, que podemos estabelecer usando a função trigonométrica inversa arco-cosseno. Como a imagem de cos está contida no intervalo [-1,1], podemos compor esta aplicação com a função bijectiva arco-cosseno arccos : [−1,1] −→ [0,π] e associar a cada ângulo ∠{h+,k+} do plano um único real α ∈]0,π[ que verifica: (Eis a relação entre os dois “cossenos”!!!) cos∠{h+,k+} = cosα 53
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Corolário 1.8 O Teorema de Pitágoras<br />
Seja △ABC um triângulo do plano. O ângulo ∠BAC é recto se e só se<br />
(Demonstração)<br />
BC 2 = AB 2 +AC 2<br />
Directa, recorde-se que o ângulo ∠BAC é recto se e só se cos∠BAC = 0.<br />
Teorema . 1.9<br />
O plano R 2 verifica os axiomas de incidência, ordem, continuidade, congruência, continuidade<br />
e o axioma das paralelas de Playfair.<br />
Este teorema foi provado quasi na totalidade nos exercícios do capítulo anterior. O esquema<br />
de demonstração dos axiomas III-3 e III-4 apresenta-se nos exercícios.<br />
Em resumo<br />
ATENÇÃO!!!!<br />
O plano R 2 é um modelo analítico do plano euclidiano<br />
O “cosseno” do ângulo definido por duas semi-rectas é simplesmente um número real associado<br />
a cada ângulo geométrico do plano, ou seja, se A designa o conjunto de ângulos do plano, cos<br />
é uma aplicação<br />
cos : A −→]−1,1[<br />
e NÃO a função real de variável real chamada cosseno. Existe, obviamente, uma ligação<br />
entre estas duas aplicações, que podemos estabelecer usando a função trigonométrica inversa<br />
arco-cosseno.<br />
Como a imagem de cos está contida no intervalo [-1,1], podemos compor esta aplicação com<br />
a função bijectiva arco-cosseno<br />
arccos : [−1,1] −→ [0,π]<br />
e associar a cada ângulo ∠{h+,k+} do plano um único real α ∈]0,π[ que verifica:<br />
(Eis a relação entre os dois “cossenos”!!!)<br />
cos∠{h+,k+} = cosα<br />
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