GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

3. Sejam u, v e w os vectores directores unitários das semi-rectas h+, r+ e k+, respectivamente.
Se a semi-recta r+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+} tem-se que
com λ,µ ∈ R + (exercícios 1.16).
v = λu+µw
Seja K = cos∠{h+,k+} = u·w. Pelas propriedades do produto escalar, como u e w são
vectores unitários,
É preciso provar então que
cos{h+,r+} = u·v = u·(λu+µw) = λ+µK
λ+µK > K (∗)
Note-se que, como v é um vector unitário, os escalares positivos λ e µ verificam ainda
1 = v 2 = v·v = λ 2 +µ 2 +2λµK (1)
Considerem-se separadamente os casos 0 < K < 1 e −1 < K < 0
(se K = 0 a desigualdade (*) é directa já que λ > 0).
Se 0 < K < 1, tem-se, em particular, que µ < 1 (desigualdade (1)) Assim,usando ainda
(1),
λ+µK > K ⇔ (λ+µK) 2 > K 2
⇔ λ 2 +µ 2 K 2 +2λµK > K 2
⇔ 1−µ 2 +µ 2 K 2 > K 2
⇔ 1−µ 2 > (1−µ 2 )K 2
Se −1 < K < 0, podemos supor µ > 1 e λ+µK < 0.
(Se µ ≤ 1 ou λ+µK ≥ 0 a desigualdade (*) é directa)
Usando argumentos análogos aos anteriores obtemos
Teorema 1.7 Teorema dos cossenos
Seja △ABC um triângulo do plano. Verifica-se
λ+µK > K ⇔ (λ+µK) 2 < K 2
⇔ λ 2 +µ 2 K 2 +2λµK < K 2
⇔ 1−µ 2 +µ 2 K 2 < K 2
⇔ 1−µ 2 < (1−µ 2 )K 2
BC 2 = AB 2 +AC 2 −2(AB)(AC)cos∠BAC
(Demonstração)
Directa, usando que −→
BC = −→
BA+ −→
AC e as propriedades do produto escalar.
52