GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Definição . 1.3 Cosseno do ângulo entre semi-rectas
Sejam h+ e k+ semirectas de origem O e vectores directores unitários respectivos v e w. Definimos
o cosseno do ângulo ∠{h+,k+} como
cos∠{h+,k+} = v·w
Definição . 1.4 Congruência de ângulos
Dizemos que dois ângulos são congruentes quando o cosseno for igual.
Nota 1.5 Cosseno de um ângulo ∠POR
Sejam P, O e R três pontos do plano não colineares. O cosseno do ângulo ∠POR é o escalar:
cos∠POR =
−→
OP · −→
OR
−→ −→
OP OR Estudamos de seguida algumas propriedades do cosseno de ângulos.
Proposição 1.6 Propriedades do cosseno de ângulos
Sejam h+ e k+ semi-rectas de origem O. Tem-se
1. −1 < cos∠{h+,k+} < 1;
2. cos∠{h+,k+} = −cos∠{h+,k−}, em particular, um ângulo ∠{h+,k+} é recto se e só se
cos{h+,k+} = 0;
3. se r+ é uma semi-recta de origem O interior ao ângulo ∠{h+,k+} então
(Demonstração)
O
h+
cos∠{h+,k+} < cos∠{h+,r+}
r+
k+
1. Deduz-se da desigualdade de Cauchy-Schwarz.
2. Sejam u e v os vectores directores unitários de h+ e k+, respectivamente. O vector −v
é então o vector director de k−. Tem-se
cos∠{h+,k+} = u·v e cos∠{h+,k−} = u·(−v) = −(u·v)
O ângulo ∠{h+,k+} é recto se e só se ∠{h+,k+} e ∠{h+,k−} são congruentes, isto é, se
e só se
cos∠{h+,k+} = cos∠{h+,k−}
donde u·v = 0.
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