GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Note-se que para completar o nosso modelo analítico do plano euclidiano precisamos de
definir a congruência de ângulos e verificar os axiomas de incidência, ordem, congruência,
continuidade e o V Postulado de Euclides (ou um enunciado equivalente, como o axioma das
paralelas de Playfair).
Acongruênciadeângulosdefinir-se-áapartirdochamadocossenodeumângulogeométrico.
Este cosseno, por sua vez, é definido usando o produto escalar usual, designado por ·, e a norma
euclidiana,designadapor·. Nofinaldasecçãolembram-seaspropriedadesbásicasdoproduto
escalar usual e da norma euclidiana.
De facto, a norma euclidiana já foi implicitamente usada na definição de comprimento AB de
um segmento AB:
AB := (a1 −b1) 2 +(a2 −b2) 2 = −→
AB
Proposição . 1.1 Seja h+ uma semi-recta de origem O. Existe um único vector u ∈ R2 verificando:
1. u = 1;
2. um ponto P incide em h+ se e só se −→
OP = λu λ ∈ R + .
(Demonstração)
Seja P0 um ponto fixado da semi-recta h+. No exercício 4.3 verificou-se que um ponto P incide
em h+ se e só se −→ −−→
OP = µ OP0 com µ ∈ R + .
−−→
OP0
Considere-se o vector u :=
−−→
OP0 .
Se P incidir em h+ então −→ µ
OP = λu com λ =
−−→
OP0 ∈ R+ . Reciprocamente, se −→
OP = λu,
com λ ∈ R + , tem-se que −→ −−→
OP = µ OP0 com µ = λ −−→
OP0 ∈ R + e portanto P incide em h+.
Sejam u e u ′ verificando as condições 1 e 2. O ponto P0 incide em h+ por tanto
com λ,λ ′ ∈ R + . Em particular
donde u = u ′ .
−−→
OP0 = λu e
−−→
OP0 = λ = λ ′
−−→
OP0 = λ ′ u ′
Definição . 1.2 Vector director unitário de uma semi-recta
Seja h+ uma semi-recta de origem O. O vector u nas condições da proposição anterior diz-se
vector director unitário da semi-recta h+.
Note-se que, se u é o vector director unitário da semi-recta h+, então −u é o vector director
unitário da semi-recta oposta h−.
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