GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

I. A axiomática da Geometria
Os Elementos de Euclides são a primeira obra matemática grega de importância de que temos
conhecimento, escrita por volta do século III a.c. Compõe-se de 13 livros, sendo os quatro
primeiros e o sexto dedicados à Geometria Elementar. A obra começa com uma lista de
definições, seguida de cinco axiomas e cinco postulados a partir dos quais se deduzem logicamente
os restantes resultados. Do ponto de vista da matemática moderna, Os Elementos de
Euclides apresentam certos problemas de rigor: definições sem sentido, axiomas usados implicitamente
mas não formulados explicitamente ... No entanto, possuiam já uma estrutura
dedutiva muito aperfeiçõada e não podemos esquecer que foi escrito há mais de 2000 anos!
Actualmente existem várias axiomatizações rigorosas da chamada Geometria Euclidiana,
isto é, sistemas axiomáticos que permitem provar os resultados dos Elementos de Euclides. A
axiomática mais conhecida deve-se a Hilbert e é formada por 20 axiomas dividos em quatro
grupos (incidência, ordem, congruência e continuidade) e por mais um último axioma que é
equivalente ao famoso V Postulado de Euclides.
Neste capítulo apresentam-se os conceitos básicos da teoria axiomática da Geometria, numa
versão simplificada da axiomática de Hilbert. Nas primeiras três secções estudaremos os axiomasdeincidência,
ordem, congruênciaecontinuidadeeasconsequênciaslógicasdestesaxiomas.
Os resultados assim obtidos, sem usar o V Postulado, são chamados resultados da geometria
absoluta. Na última secção encontram-se os princípios gerais das geometrias euclidiana e
hiperbólica, isto é, as geometrias obtidas se adicionarmos, respectivamente, o V Postulado de
Euclides ou a sua negação, o denominado Axioma das Paralelas de Lobachevsky.
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