GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Actualmente, chama-se geometria euclideana à geometria definida axiomaticamente pelos
grupos de axiomas I-II-III-IV (axiomas da Geometria Absoluta) mais qualquer um dos enunciados
anteriores, equivalentes ao V postulado de Euclides. Chama-se geometria hiperbólica à
geometria constituida pelos resultados que dependem logicamente dos axiomas da Geometria
Absoluta e do axioma das paralelas de Lobastchevsky:
“ Há um ponto P e uma recta r nao incidentes, tais que existe mais do que uma recta
incidente com P e paralela a r.”
O modelo básico do plano euclidiano é o plano real R 2 com a estrutura bem conhecida.
Modelos do plano hiperbólico são, por exemplo, os planos 5 e 7 de 1.5.
Atenção !! Existem noções na geometria hiperbólica definidas na geometria absoluta como
paralelismo, equidistância ... que aparecem com distintas propriedades às da geometria euclideana,
se calhar um bocadinho longe da nossa intuição geométrica. Por exemplo, na geometria
hiperbólica ...
• dada uma recta, não existe uma outra recta equidistante dessa;
• para dois triângulos serem congruentes basta que o sejam os ângulos;
• a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre inferior a dois rectos;
• há três pontos não incidentes numa recta que não definem nenhuma circunferência;
• a relação de paralelismo não é uma relação de equivalência no conjunto das rectas...
Exercícios . 5.1
1. Verifique que o plano 6 de 1.5 não verifica o axioma das paralelas de Playfair.
hiperbólico segundo a nossa definição?
2. O plano afim real R×R verifica o axioma de paralelas de Playfair?
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É um plano