GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

5 O axioma das paralelas
Durante séculos, os matemáticos pensaram que o V Postulado de Eclides era na realidade
um teorema e tentaram prova-lo a partir dos outros axiomas e postulados. Existem inúmeras
demonstrações falsas, muitas de elas obtidas usando resultados “evidentes” que resultavam ser,
de facto, enunciados equivalentes ao tal V Postulado.
O V Postulado de Euclides :
– sejam r e s duas recta incidentes no mesmo plano, intersectadas por uma recta t em pontos
R e S respectivamente. Fixemos os pontos S1 e R1 incidentes com s e r respectivamente e no
mesmo semiplano definido por t. Suponhamos que os ângulos ∠R1RS e ∠RSS1 têm soma das
medidas inferior a 2 rectos. Então as rectas r e s incidem num ponto desse semiplano.
t
R
R1
S S1
Apresentamos de seguida alguns dos enunciados equivalentes ao V Postulado:
• Existe um triângulo em que a soma das medidas dos ângulos internos é igual a dois rectos;
• Em qualquer triângulo a soma das medidas dos ângulos internos é igual a dois rectos;
• Existem três pontos equidistantes de uma recta pertencentes a um dos semi-planos
definido pela recta e que são colineares;
• Há um ponto P e uma recta r não incidentes tais que não há mais do que uma recta
incidente com P e paralela a r.
• (Axioma das paralelas de Playfair) Dados um ponto P e uma recta s quaisquer não
incidente em P não existe mais do que uma recta incidente com P e paralela a s;
• Duas rectas paralelas a uma terceira são paralelas entre si;
• Por um ponto interior de um ângulo incide sempre uma recta que intersecta ambos os
lados do triângulo
Só no século XIX, a partir dos trabalhos de Bolay e de Lobachevsky, ficou definitivamente
estabelecido que o V Postulado era independente dos outros e que era preciso considera-lo para
conseguir os resultados de Euclides.
47
r
s