GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

IV Axiomas de continuidade.
IV-1 (O Axioma de Arquimedes) Sejam r uma recta e (An)n uma sucessão de pontos incidentes
em r tais que An+1 está entre An+2 e An e A0A1 ≡ AnAn+1 para todo o n ∈ N. Então, para
todo B incidente em na semi-recta de origem A0 incidente em An, existe k tal que B está entre
A0 e Ak.
A0
A1
A2 ···
An
An+1 ···
B Ak
IV-2 (O Axioma de Cantor) Sejam r uma recta, (An)n e (Bn)n duas sucessões de pontos incidentes
em r tais que, para todos os n,k ∈ N, o ponto Bn+1 está entre Ak e Bn e o ponto An+1
está entre An e Bk. A intersecção
n AnBn contém um segmento ou é um e um só ponto.
A1
A2 ···
An Bn ···
Nota . 4.4
Os axiomas de congruência III permitem construir, por recorrência, uma sucesão de pontos que
verifique as condições iniciais do axioma de Arquimedes, isto é, uma uma sucesão de pontos
(An)n incidentes numa recta r tal que
A0A1 ≡ AnAn+1
Teorema . 4.5 Existência de medidas de segmentos e ângulos
Num plano verificando os grupos de axiomas I, II, III e o axioma IV-1 existe uma medida de
segmentos e existe uma medida de ângulos.
Terminamos esta secção enunciando o chamado Teorema Fundamental da Geometria Absoluta.
Teorema . 4.6 O Teorema Fundamental da Geometria Absoluta
Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é inferior ou igual a soma das
medidas de 2 rectos.
Exercícios . 4.7
1. Considere-se um plano verificando os grupos de axiomas I, II, III e IV e A o conjunto de ângulos
do plano. Prove que se existir uma medida m∠ : A −→ R + , dado k ∈ R + é possível definir uma
medida m∠ ′ : A −→ R + tal que a medida do ângulo recto seja precisamente k.
2. O plano afim real R×R verifica os axiomas de continuidade?
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B2
B1