GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

4 Medida e Axiomas de continuidade
Definição . 4.1 Medida de segmentos
SejaS oconjuntodesegmentosdoplano. Umamedida de segmentoséumaaplicaçãoµ : S −→ R +
tal que
1. Se AB e CD são segmentos do plano, tem-se AB ≡ CD se só se µ(AB) = µ(CD).
2. Se B está entre A e C então µ(AC) = µ(AB)+µ(BC).
3. há um segmento previamente fixado o que se atribui medida igual à unidade.
Definição . 4.2 Medida de ângulos
SejaAoconjuntodeângulosdoplano. Umamedida de ânguloséumaaplicaçãom∠ : A −→ R +
tal que
1. Se ∠{h+,k+} e ∠{m+,k+} são ângulos do plano,
∠{h+,k+} ≡ ∠{m+,n+} ⇐⇒ m∠{h+,k+} = m∠{m+,n+}
2. Se h+, r+ e k+ são semi-rectas de origem O tais que r+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+},
então
m∠{h+,k+} = m∠{h+,r+}+m∠{r+,k+}
3. um ângulo recto tem por medida um número real positivo, previamente fixado.
Exercício . 4.3 Congruência de segmentos no plano afim real
Recorde-se que, no plano afim real, foi definida uma relação “estar entre” que verifica os axiomas de
ordem (exemplo 2.6). Dados A e B pontos do plano, define-se o comprimento do segmento AB e
designa-se como AB por
AB := (b1 −a1) 2 +(b2 −a2) 2
onde A = (a1,a2) e B = (b1,b2). Dois segmentos AB e CD dizem-se congruentes quando tiverem o
mesmo comprimento, isto é, quando AB = CD.
1. Sejam A e B pontos do plano afim real. Verifique que um ponto C incide na semi-recta de origem
A incidente em B se e só se C = A+λ −→
AB com λ > 0.
O vector −→
AB diz-se um vector director da semi-recta de origem A e incidente em B. Note-se que um ponto C incide
então na semi-recta oposta à semi-recta incidente em B quando C = A + λ −→
AB com λ < 0 ou, equivalentemente,
quando C = A + λ ′ (− −→
AB) com λ ′ > 0, assim − −→
AB é um vector director da semi-recta de origem B oposta à
incidente em B.
2. Prove que existe um ponto I, na semi-recta de origem A e incidente em B, tal que AI = 1
3. Prove que a relação de congruência definida nos segmentos do plano afim real verifica os axiomas
III-1 e III-2 de congruência.
4. O comprimento de um segmento é uma medida de segmentos?
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