GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

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obter que A ∈ h+ e B ∈ k+. Aplicar de seguida o segundo critério de congruência de triângulos rectângulos. Para o recíproco, aplicar o primeiro critério.) 7. Mediatriz de um segmento SejamAeB doispontosdistintosdoplano. ChamamosmediatrizdosegmentoAB àperpendicular à recta < A,B > incidente no ponto médio entre A e B. Prove que um ponto do plano M incide na mediatriz de um segmento se e só se AM ≡ BM. 8. O plano racional Estude se o plano Q×Q satisfaz os axiomas de incidência, ordem e congruência relativamente às relações de incidência, ordem e congruência análogas às de R×R. Ajuda: uma segmento com extremos racionais pode ter declive ou comprimento não racional ... 44
4 Medida e Axiomas de continuidade Definição . 4.1 Medida de segmentos SejaS oconjuntodesegmentosdoplano. Umamedida de segmentoséumaaplicaçãoµ : S −→ R + tal que 1. Se AB e CD são segmentos do plano, tem-se AB ≡ CD se só se µ(AB) = µ(CD). 2. Se B está entre A e C então µ(AC) = µ(AB)+µ(BC). 3. há um segmento previamente fixado o que se atribui medida igual à unidade. Definição . 4.2 Medida de ângulos SejaAoconjuntodeângulosdoplano. Umamedida de ânguloséumaaplicaçãom∠ : A −→ R + tal que 1. Se ∠{h+,k+} e ∠{m+,k+} são ângulos do plano, ∠{h+,k+} ≡ ∠{m+,n+} ⇐⇒ m∠{h+,k+} = m∠{m+,n+} 2. Se h+, r+ e k+ são semi-rectas de origem O tais que r+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+}, então m∠{h+,k+} = m∠{h+,r+}+m∠{r+,k+} 3. um ângulo recto tem por medida um número real positivo, previamente fixado. Exercício . 4.3 Congruência de segmentos no plano afim real Recorde-se que, no plano afim real, foi definida uma relação “estar entre” que verifica os axiomas de ordem (exemplo 2.6). Dados A e B pontos do plano, define-se o comprimento do segmento AB e designa-se como AB por AB := (b1 −a1) 2 +(b2 −a2) 2 onde A = (a1,a2) e B = (b1,b2). Dois segmentos AB e CD dizem-se congruentes quando tiverem o mesmo comprimento, isto é, quando AB = CD. 1. Sejam A e B pontos do plano afim real. Verifique que um ponto C incide na semi-recta de origem A incidente em B se e só se C = A+λ −→ AB com λ > 0. O vector −→ AB diz-se um vector director da semi-recta de origem A e incidente em B. Note-se que um ponto C incide então na semi-recta oposta à semi-recta incidente em B quando C = A + λ −→ AB com λ < 0 ou, equivalentemente, quando C = A + λ ′ (− −→ AB) com λ ′ > 0, assim − −→ AB é um vector director da semi-recta de origem B oposta à incidente em B. 2. Prove que existe um ponto I, na semi-recta de origem A e incidente em B, tal que AI = 1 3. Prove que a relação de congruência definida nos segmentos do plano afim real verifica os axiomas III-1 e III-2 de congruência. 4. O comprimento de um segmento é uma medida de segmentos? 45
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