GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Exercícios . 3.22
1. Prove os resultados desta secção.
2. (Primeira caracterização da bissectriz)
Sejam h+, k+ semi-rectas de origem O com suportes distintos e r+ uma semi-recta de origem O
interior ao ângulo ∠{h+,k+}. Considerem-se um ponto C de r+ e a recta s perpendicular a r
incidente em C. Suponhamos que existem A e B, incidentes na perpendicular s e nas semi-rectas
h+ e k+. Então C é o ponto médio entre A e B se e só se r+ é a bissectriz interior do ângulo.
O
A
C
B
k+
h+
Nota A condição exigida de que s incida num ponto A de h+ e num ponto B de k+ é necessária.
Existem modelos de plano que verifica os axiomas de incidência, ordem e congruência, onde a
perpendicular a bissectriz nem sempre intersecta as semi-rectas que definem o ângulo.
3. Sejam h+,k+ semi-rectas de origem O de suportes distintos, r+ a bissectriz interior do ângulo
∠{h+,k+}. Prove que ∠{h+,r+} é sempre menor que um ângulo recto. Por outras palavras, se
um ângulo é bissector de outro, então é um ângulo agudo.
k+
m+
O
(Sugestão: considere a semi-recta m+, incidente no mesmo semi-plano definido por k que r+ e
h+, tal que ∠{k+,m+} é recto. Assuma que m+ é interior ao ângulo ∠{k+,r+} e, usando a
transitividade e o facto que r+ e h+ são então interiores ao ângulo recto ∠{m+,k−}, chegue a um
absurdo)
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r+
h+
k−