GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Teorema . 3.21 Paralelas na geometria absoluta
1. Se r e r ′ são perpendiculares a uma terceira recta s, então r e r ′ são paralelas.
2. Dado um ponto P não incidente numa recta r, existe pelo menos uma recta r ′ incidente
em P e paralela a r.
3. Sejam r e r ′ duas rectas distintas incidentes numa terceira recta s em pontos O e O ′
respectivamente. Considerem-se r+ e r ′ − as semirectas de origem O e O ′ , com suporte r
e r ′ , respectivamente, situadas em semiplanos opostos definidos por s. Sejam sO e sO ′ as
semirectas de origem O e O ′ que não incidem O ′ e O, respectivamente.
r
r ′
sO ′
r ′ +
O
′
O
Se os ângulos ∠{sO,r+} e ∠{sO ′,r′ +} são congruentes, as rectas r e r ′ são paralelas.
Atenção ...
• o teorema anterior justifica a existência de paralela, NÃO a unicidade;
• o teorema afirma que, se duas rectas formam com uma terceira ângulos correspondentes
congruentes, as duas rectas são paralelas mas NÃO assegura o recíproco!!!!!
• por exemplo, se r e r ′ são paralelas, e s e r são perpendiculares, NÃO foi provado que s
e r ′ também são perpendiculares!!!!
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sO
r+