GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

donde AC ≡ CB.
Só falta verificar que C está efectivamente entre A e B. Vamos provar que as condições
C = B ou B entre C e A levam ao absurdo (os casos C = A ou A entre C e B são
análogos).
A
P
B = C
P′
Se C = B, aplicando o teorema do ângulo exterior, vem que ∠P ′ BA > ∠PAB (absurdo
∠P ′ BA ≡ ∠PAB)
Se B estiver entre C e A aplicando o teorema do ângulo exterior, obter-se-ia que
A
∠ABP ′ > ∠BCP ′ > ∠CAP = ∠BAP
(absurdo, ∠ABP ′ e ∠BAP são congruentes). Se M e M ′ são pontos médios de AB
podemos usar o lema fundamental sobre segmentos e a comparação de segmentos para
verificar que a única possibilidade é AM ≡ AM ′ donde (III-1) M = M ′ .
2. Existência e unicidade da bissectriz interior
Sejam h+ e k+ duas semi-rectas de origem O. Considerem-se pontos A ∈ h+ e B ∈ k+
verificando
OA ≡ OB
A
C
B
k+
h+
Seja C o ponto médio do segmento AB. Pelo critério LLL, △OAC ≡ △OBC e portanto
a semi-recta de origem O e incidente em C é a bissectriz interior do ângulo ∠{h+,k+}.
A unicidade deduz-se da unicidade do ponto médio.
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B
P
C
P′