GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

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Notas: • Estes apontamentos foram preparados para uma disciplina semestral denominada “Geometria II” dedicada à geometria euclideana, na antiga Licenciatura em Ensino da Matemática da Universidade do Minho (plano anterior a Bolonha). Dois docentes da UM tiveram o azar de leccionar esta disciplina sendo eu a responsável: o António Veloso da Costa e a Ana Cristina Castro Ferreira. É graças a eles que estes apontamentos contêm muitíssimos menos erros do que teriam sem a sua colaboração. Obrigada! • O primeiro capítulo é um resumo das excelentes notas da Ana Maria do Vale [1] embora seja pouco respeituoso com a fonte e com a axiomática original de Hilbert [7]. Alterei os axiomas do grupo III, relativos à congruência de segmentos e ângulos, com o objetivo de dedicar menos tempo às verificações preliminares e chegar rapidamente aos resultados ”geométricos” (critérios de congruência de triângulos, caracterizações da bissectriz e da mediatriz ...). As alterações podem parecer à primeira vista pouco significativas (estão indicadas no texto) mas são um sacrilegio do ponto de vista axiomático pois incluem propriedades redundantes. A minha desculpa para estas alterações é o desejo de conseguir tempo para ensinar aos alunos geometria básica pois percebi que conceitos como medianas, ortocentro, reflexões, rotações ... lhes eram completamente alheios. Essa é a matéria apresentada nos capítulos 2 e 3: triângulos, circunferências, isometrias ... O capítulo 4 é uma brevíssima introdução ao plano hiperbólico. 4
I. A axiomática da Geometria Os Elementos de Euclides são a primeira obra matemática grega de importância de que temos conhecimento, escrita por volta do século III a.c. Compõe-se de 13 livros, sendo os quatro primeiros e o sexto dedicados à Geometria Elementar. A obra começa com uma lista de definições, seguida de cinco axiomas e cinco postulados a partir dos quais se deduzem logicamente os restantes resultados. Do ponto de vista da matemática moderna, Os Elementos de Euclides apresentam certos problemas de rigor: definições sem sentido, axiomas usados implicitamente mas não formulados explicitamente ... No entanto, possuiam já uma estrutura dedutiva muito aperfeiçõada e não podemos esquecer que foi escrito há mais de 2000 anos! Actualmente existem várias axiomatizações rigorosas da chamada Geometria Euclidiana, isto é, sistemas axiomáticos que permitem provar os resultados dos Elementos de Euclides. A axiomática mais conhecida deve-se a Hilbert e é formada por 20 axiomas dividos em quatro grupos (incidência, ordem, congruência e continuidade) e por mais um último axioma que é equivalente ao famoso V Postulado de Euclides. Neste capítulo apresentam-se os conceitos básicos da teoria axiomática da Geometria, numa versão simplificada da axiomática de Hilbert. Nas primeiras três secções estudaremos os axiomasdeincidência, ordem, congruênciaecontinuidadeeasconsequênciaslógicasdestesaxiomas. Os resultados assim obtidos, sem usar o V Postulado, são chamados resultados da geometria absoluta. Na última secção encontram-se os princípios gerais das geometrias euclidiana e hiperbólica, isto é, as geometrias obtidas se adicionarmos, respectivamente, o V Postulado de Euclides ou a sua negação, o denominado Axioma das Paralelas de Lobachevsky. 5
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A função composta A cos −→]
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3. Suponham-se A, B e C pontos inci
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5. I transforma circunferências ge
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7. Seja r uma recta incidente na or
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Reflexões em rectas hiperbólicas
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Definição . 2.5 Isometrias hiperb
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