GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

O triângulo △BAB ′ é, por construção, isósceles, por tanto ∠B ′ BA ≡ ∠BB ′ A. Pelo teorema
do ângulo exterior obtem-se que
∠BCB ′ < ∠BB ′ A < ∠CBA
Definição . 3.19 Ponto médio, Bissectriz interior
• Sejam A e B pontos distintos do plano. Um ponto C diz-se ponto médio do segmento
AB se C está entre A e B e verifica
AC ≡ CB
• Sejam h+ e k+ duas semi-rectas de origem O. Uma semi-recta r+ de origem O diz-se
bissectriz interior do ângulo ∠{h+,k+} se r+ for interior ao ângulo e verificar
∠{h+,r+} ≡ ∠{r+,k+}
Proposição 3.20 Existe e é único o ponto médio de um segmento. Existe e é única a bissectriz
interior de um ângulo.
(Demonstração)
1. Existência e unicidade do ponto médio.
Sejam A e B pontos distintos do plano. Considere-se um ponto P não incidente na recta
< A,B >. Defina-se, usandoosaxiomasIII-3eIII-1, umpontoP ′ , nosemi-planodefinido
por < A,B > oposto ao incidente em P que verifique
∠PAB ≡ ∠ABP ′
AP ≡ P ′ B
Seja C o ponto de incidência do segmento PP ′ com a recta < A,B >.
A
C
P ′
Verifiquemos que, se C está entre A e B, então C é o ponto médio.
Aplicando o critério LAL deduz-se que
P
B
△PAB ≡ △P ′ BA
em particular, ∠BAP ′ ≡ ∠PBA e AP ′ ≡ BP. Aplicando o criério LLL obtem-se que
△APP ′ ≡ △BP ′ P ∠PAP ′ ≡ ∠PBP ′ e então, pelo critério ALA , tem-se que
△APC ≡ △BP ′ C
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