GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar
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A C (Demonstração) Seja △ABC um triângulo. Suponha-se que o ângulo exterior em A é menor ou congruente ao ângulo interior em C. Usando o axioma III-3 e a proposição 2.16 existe um ponto B1 no segmento AB tal que o ângulo ∠B1CA é congruente com o ângulo exterior em A. D A C Considere-se o ponto D, incidente na semi-recta de origem A oposta à semi-recta incidente em B e B1, um ponto D tal que DA ≡ B1C Pelo critério LAL, tem-se B B1 △DAC ≡ △B1CA emparticular∠CAB1 ≡ ∠ACD. Como∠CAB1 e∠CAD sãosuplementares, obtem-se(axioma III-3) que ∠ACD e ∠ACB1 são suplementares, donde D incide na recta < C,B1 > (absurdo). Teorema 3.18 Seja △ABC um triângulo. Se AB < AC então o ângulo interior em C é menor que o ângulo interior em B. Em particular, em todo triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. (Demonstração) Seja △ABC um triângulo. Vamos provar que, se AB < AC, então o ângulo interior em C é menor que o ângulo interior em B. A B Considere-se o ponto B ′ , na semi-recta de origem A e incidente em C que verifica AB ≡ AB ′ . Como AB é menor que AC, tem-se que B ′ está entre A e C e então B ′ ∠B ′ BA < ∠CBA 38 B C
O triângulo △BAB ′ é, por construção, isósceles, por tanto ∠B ′ BA ≡ ∠BB ′ A. Pelo teorema do ângulo exterior obtem-se que ∠BCB ′ < ∠BB ′ A < ∠CBA Definição . 3.19 Ponto médio, Bissectriz interior • Sejam A e B pontos distintos do plano. Um ponto C diz-se ponto médio do segmento AB se C está entre A e B e verifica AC ≡ CB • Sejam h+ e k+ duas semi-rectas de origem O. Uma semi-recta r+ de origem O diz-se bissectriz interior do ângulo ∠{h+,k+} se r+ for interior ao ângulo e verificar ∠{h+,r+} ≡ ∠{r+,k+} Proposição 3.20 Existe e é único o ponto médio de um segmento. Existe e é única a bissectriz interior de um ângulo. (Demonstração) 1. Existência e unicidade do ponto médio. Sejam A e B pontos distintos do plano. Considere-se um ponto P não incidente na recta < A,B >. Defina-se, usandoosaxiomasIII-3eIII-1, umpontoP ′ , nosemi-planodefinido por < A,B > oposto ao incidente em P que verifique ∠PAB ≡ ∠ABP ′ AP ≡ P ′ B Seja C o ponto de incidência do segmento PP ′ com a recta < A,B >. A C P ′ Verifiquemos que, se C está entre A e B, então C é o ponto médio. Aplicando o critério LAL deduz-se que P B △PAB ≡ △P ′ BA em particular, ∠BAP ′ ≡ ∠PBA e AP ′ ≡ BP. Aplicando o criério LLL obtem-se que △APP ′ ≡ △BP ′ P ∠PAP ′ ≡ ∠PBP ′ e então, pelo critério ALA , tem-se que △APC ≡ △BP ′ C 39
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A<br />
C<br />
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(Demonstração)<br />
Seja △ABC um triângulo. Suponha-se que o ângulo exterior em A é menor ou congruente<br />
ao ângulo interior em C. Usando o axioma III-3 e a proposição 2.16 existe um ponto B1 no<br />
segmento AB tal que o ângulo ∠B1CA é congruente com o ângulo exterior em A.<br />
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D<br />
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A<br />
C<br />
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Considere-se o ponto D, incidente na semi-recta de origem A oposta à semi-recta incidente em<br />
B e B1, um ponto D tal que DA ≡ B1C Pelo critério LAL, tem-se<br />
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B<br />
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B1<br />
△DAC ≡ △B1CA<br />
emparticular∠CAB1 ≡ ∠ACD. Como∠CAB1 e∠CAD sãosuplementares, obtem-se(axioma<br />
III-3) que ∠ACD e ∠ACB1 são suplementares, donde D incide na recta < C,B1 > (absurdo).<br />
Teorema 3.18 Seja △ABC um triângulo. Se AB < AC então o ângulo interior em C é<br />
menor que o ângulo interior em B. Em particular, em todo triângulo, ao maior lado opõe-se<br />
o maior ângulo.<br />
(Demonstração)<br />
Seja △ABC um triângulo. Vamos provar que, se AB < AC, então o ângulo interior em C é<br />
menor que o ângulo interior em B.<br />
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A<br />
B<br />
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Considere-se o ponto B ′ , na semi-recta de origem A e incidente em C que verifica AB ≡ AB ′ .<br />
Como AB é menor que AC, tem-se que B ′ está entre A e C e então<br />
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B ′<br />
∠B ′ BA < ∠CBA<br />
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B<br />
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C
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