GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

3. Seja B1 o ponto na semi-recta de origem C tal que AB ≡ CB1. Suponhamos que não se
tem AB ≡ CD nem AB < CD. Por hipótese, o ponto B1 não pertence ao segmento CD.
Tem-se que D está entre C e B1.
A B C D B1
A D1 B C D
Considere-seopontoD1 incidentenasemi-rectadeorigemAeincidenteemB queverifica
AD1 ≡ CD. Pela proposição 3.2, D1 está entre A e B e portanto
CD < AB
4. Suponha-se que ∠{h+,k+} não é menor nem congruente com o ângulo ∠{m+,n+}. Seja
˜k+ asemi-rectanosemi-plano definido por meincidente em n+ queverifica∠{m+, ˜ k+} ≡
∠{h+,k+}. Nas hipóteses indicadas, pela proposição 2.16, a semi-recta n+ deve ser
interior ao ângulo ∠{m+, ˜ k+}.
k+
ñ+
h+
Considere-se então, no semi-plano definido por h e incidente em k+, a semi-recta ñ+ que
verifica
∠{h+,ñ+} ≡ ∠{m+,n+}
Usando o lema 3.6, obtem-se que ñ+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+} donde
∠{m+,n+} < ∠{h+,k+}
5. Aplicar a proposição 3.2 e lema fundamental para a comparação de segmentos. Usar o
lema 3.6 para a comparação de ângulos.
Nota . 3.13
A partir do teorema anterior, se AB < CD, tem-se também AB < DC, BA < CD ... já que
AB ≡ BA, CD ≡ DC ... Note-se que estes resultados não eram, a priori, evidentes, pois na
definição da comparação é feita uma construção que passa por uma determinada ”escolha” dos
pontos. E analogamente para os ângulos ...
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˜k+
n+
m+