GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

4. (Unicidade da perpendicular por um ponto dado)
Sejam r uma recta e P um ponto do plano. Se P incidir em r, pelo axioma III-3 e a
alínea anterior, existe uma única perpendicular a r incidente em P.
Suponhamos que P não incide na recta r e que existem duas perpendiculares a r, s e s ′ ,
incidentes em P. Sejam K e K ′ os pontos de incidência de s e s ′ , respectivamente, com
r. Seja A um ponto da recta r tal que K ∈ AK ′ .
A
s ′ s
P
−
=
K
=
P
′′
K ′
Definimos dois pontos P ′ ,P ′′ , incidentes, respectivamente, nas semi-rectas de origem K ′
e K opostas a P e verificando PK ′ ≡ K ′ P ′′ e PK ≡ KP ′ . É preciso provar que P′ = P ′′ .
Note-se que, pelo critério LAL, tem-se
Em particular
△APK ′ ≡ △AP ′ K ′
−
P′
e △APK ≡ △AP ′′ K
AP ′ ≡ AP ≡ AP ′′
Por outro lado, P ′ e P ′′ incidem no mesmo semi-plano definido por r e verificam
∠P ′′ AK ′ ≡ ∠PAK ′ ≡ PAK ≡ P ′ AK
portanto, por III-3, P ′ e P ′′ incidem na mesma semi-recta de origem A e por III-1 tem-se
P ′ = P ′′ .
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r