GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar
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(Demonstração) 1. (O teorema do triângulo isósceles ) Num triângulo ∆ABC tem se AC ≡ BC se e só se ∠ABC ≡ ∠CAB. C ′′ ′′ B A ⇐⇒ C Aplicar o critério LAL aos triângulos △BCA e △ACB. Para o recíproco, aplicar o critério ALA aos triângulos △BCA e △ACB. 2. (Existência de ângulos rectos e perpendicular) Suponha-se, em primeiro lugar, que o ponto P não incide na recta r e considerem-se O e A pontos incidentes em r. Usando o axioma III-3 e o axioma III-1, podemos definir um ponto Q, no semi-plano oposto definido por r e incidente em P, tal que r ∠POA ≡ ∠AOQ e OP ≡ OQ O P A Q ′ Seja A ′ o ponto de incidência do segmento PQ com a recta r. Há duas possibilidades: A ′ = O ou A ′ =/ O. No primeiro caso, os pontos P, O e Q são colineares e então a recta < P,Q > é perpendicular a r. No segundo caso podemos aplicar LAL para deduzir que △POA ′ ≡ △QOA ′ (se A ′ incidir na semi-recta oposta ao ponto A aplica-se a proposição 3.8) donde ∠PA ′ O ≡ ∠QA ′ O e por tanto ∠PA ′ O é recto. Finalmente, se P incidir na recta r, podemos considerar um ponto P ′ não incidente em r e usar o raciocínio anterior para construir uma perpendicular a r incidente em P ′ . Pelo axioma III-3 e pela proposição 3.8, existirá uma perpendicular a r em P. 30 A B A
3. (O IV Postulado de Euclides) Suponha-se que existem semi-rectas h+, r+, h ′ +, r ′ + tais que ∠{h+,r+} e ∠{h ′ +,r ′ +} são rectos. Pelo axioma III-1, existe uma semi-recta h ′′ + no semi-plano definido por r e incidente em h+ tal que ∠{h ′′ +,r+} ≡ ∠{h ′ +,r ′ +} É preciso provar que h ′′ + = h+ e assim ∠{h+,r+} = ∠{h ′′ +,r+} ≡ ∠{h ′ +,r ′ +} Podemos supor as semi-rectas h+ e r+ no mesmo semi-plano definido por h ′′ . A ′′ h ′′ + C ′ O Seja O a origem destas semi-rectas, por III-1, existe um ponto A na semi-recta r− e um ponto B na semi-recta r+ tais que OB ≡ OA. Fixado C ∈ h+, existe um ponto C ′ incidente na semi-recta h ′′ + e no segmento AC (proposição 2.16 e consequências). Note-se que C e C ′ incidem no mesmo semi-plano definido por r. Como ∠C ′ OB é recto, aplicando LAL obtemos △AOC ′ ≡ △C ′ OB. Analogamente, como ∠COB é recto, obtemos que △AOC ≡ △COB. Em particular C h+ ′′ B ∠C ′ AO ≡ ∠C ′ BO ∠CAO ≡ CBO Mas C ′ e C incidem na mesma-semirecta de origem A donde ∠CAO = ∠C ′ AO e assim ∠C ′ BO ≡ ∠CBO Pelo axioma III-3, C e C ′ incidem também na mesma semi-recta de origem B. Em particular, C ′ incide na recta < A,C > e na recta < B,C > donde C = C ′ e assim h+ = h ′′ + 31 r+
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3. (O IV Postulado de Euclides)<br />
Suponha-se que existem semi-rectas h+, r+, h ′ +, r ′ + tais que ∠{h+,r+} e ∠{h ′ +,r ′ +}<br />
são rectos. Pelo axioma III-1, existe uma semi-recta h ′′ + no semi-plano definido por r e<br />
incidente em h+ tal que<br />
∠{h ′′ +,r+} ≡ ∠{h ′ +,r ′ +}<br />
É preciso provar que h ′′ + = h+ e assim<br />
∠{h+,r+} = ∠{h ′′ +,r+} ≡ ∠{h ′ +,r ′ +}<br />
Podemos supor as semi-rectas h+ e r+ no mesmo semi-plano definido por h ′′ .<br />
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A<br />
′′<br />
h ′′ +<br />
C ′<br />
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<br />
O<br />
Seja O a origem destas semi-rectas, por III-1, existe um ponto A na semi-recta r− e um<br />
ponto B na semi-recta r+ tais que OB ≡ OA. Fixado C ∈ h+, existe um ponto C ′<br />
incidente na semi-recta h ′′ + e no segmento AC (proposição 2.16 e consequências). Note-se<br />
que C e C ′ incidem no mesmo semi-plano definido por r.<br />
Como ∠C ′ OB é recto, aplicando LAL obtemos △AOC ′ ≡ △C ′ OB. Analogamente, como<br />
∠COB é recto, obtemos que △AOC ≡ △COB. Em particular<br />
C<br />
h+<br />
′′<br />
<br />
B<br />
∠C ′ AO ≡ ∠C ′ BO ∠CAO ≡ CBO<br />
Mas C ′ e C incidem na mesma-semirecta de origem A donde ∠CAO = ∠C ′ AO e assim<br />
∠C ′ BO ≡ ∠CBO<br />
Pelo axioma III-3, C e C ′ incidem também na mesma semi-recta de origem B. Em<br />
particular, C ′ incide na recta < A,C > e na recta < B,C > donde C = C ′ e assim<br />
h+ = h ′′ +<br />
31<br />
r+