GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

(Demonstração)
1. (O teorema do triângulo isósceles )
Num triângulo ∆ABC tem se AC ≡ BC se e só se ∠ABC ≡ ∠CAB.
C
′′
′′
B
A
⇐⇒
C
Aplicar o critério LAL aos triângulos △BCA e △ACB. Para o recíproco, aplicar o
critério ALA aos triângulos △BCA e △ACB.
2. (Existência de ângulos rectos e perpendicular)
Suponha-se, em primeiro lugar, que o ponto P não incide na recta r e considerem-se O e
A pontos incidentes em r. Usando o axioma III-3 e o axioma III-1, podemos definir um
ponto Q, no semi-plano oposto definido por r e incidente em P, tal que
r
∠POA ≡ ∠AOQ e OP ≡ OQ
O
P
A
Q
′
Seja A ′ o ponto de incidência do segmento PQ com a recta r. Há duas possibilidades:
A ′ = O ou A ′ =/ O. No primeiro caso, os pontos P, O e Q são colineares e então a recta
< P,Q > é perpendicular a r. No segundo caso podemos aplicar LAL para deduzir que
△POA ′ ≡ △QOA ′ (se A ′ incidir na semi-recta oposta ao ponto A aplica-se a proposição
3.8) donde ∠PA ′ O ≡ ∠QA ′ O e por tanto ∠PA ′ O é recto.
Finalmente, se P incidir na recta r, podemos considerar um ponto P ′ não incidente em r
e usar o raciocínio anterior para construir uma perpendicular a r incidente em P ′ . Pelo
axioma III-3 e pela proposição 3.8, existirá uma perpendicular a r em P.
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A
B
A