GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar
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Corolário 3.7 A congruência respeita a soma de ângulos Sejam h+, r+ e k+ (respectivamente h ′ +, r ′ +, k ′ +) três semi-rectas de origem O (respectivamente O ′ ) com suportes distintos e tais que os pontos incidentes na semirecta r+ (respectivamente na semirecta r ′ +) são interiores ao ângulo ∠{h+,k+} (respectivamente ao ângulo ∠{h ′ +,k ′ +}). Então: O r+ h+ k+ ∠{h+,r+} ≡ ∠{h ′ +,r ′ +} ∠{r+,k+} ≡ ∠{r ′ +,k ′ +} O ′ =⇒ ∠{h+,k+} ≡ ∠{h ′ +,k ′ +} (Demonstração) Considere-se, usando III-3, uma semi-recta h ′′ + incidente no mesmo semi-plano definido por k ′ que r ′ + e tal que ∠{h+,k+} ≡ ∠{h ′′ +,k ′ +} Aplica-se o teorema 3.6 e o axioma III-3 para deduzir que h ′ + = h ′′ +. Proposição 3.8 Se dois ângulos são congruentes qualquer dos suplementares de um deles é congruente com qualquer dos suplementares do outro. Em particular, dois ângulos verticalmente opostos são congruentes. (Demonstração) Sejam h+, r+ semi-rectas de origem O e h ′ + e r ′ + semi-rectas de origem O ′ tais que ∠{h+,r+} ≡ ∠{h ′ +,r ′ +} Considerem-se pontos A ∈ r+, A ′ ∈ r ′ +, B ∈ h+, B ′ ∈ h ′ +, C ∈ r− e C ′ ∈ r− tais que C O OA ≡ O ′ A ′ OB ≡ O ′ B ′ OC ≡ O ′ C ′ B A h+ r+ Usando o critério LAL, obtemos que △ABO ≡ △A ′ B ′ O ′ , em particular ∠OAB ≡ ∠O ′ A ′ B ′ e AB ≡ A ′ B ′ . Aplicando o axioma III-2 e o critério LAL obtemos então que △CAB ≡ △C ′ A ′ B ′ , e, de novo por LAL, que △COB ≡ △C ′ O ′ B ′ , donde C ′ O ′ ∠{r−,h+} ≡ ∠COB ≡ ∠C ′ O ′ B ′ ≡ ∠{r ′ −,h ′ +} 28 B ′ A ′ r ′ + h ′ + k ′ + h ′ + r ′ +
Definição . 3.9 Ângulos rectos, rectas perpendiculares • Dizemosqueumânguloérectosefôrcongruentecomqualquerumdosseussuplementares. • Dizemos que duas rectas sâo perpendiculares se incidem num ponto O e se o ângulo de vértice O e cujos lados têm como suporte essas rectas é recto. Atenção! Note-se que noção de ângulo recto está bem definida por causa da proposição 3.8. Ainda, da proposição 3.8, podemos concluir que se um ângulo for congruente com um ângulo recto então é recto. Mas ainda não foi provado que dois ângulos rectos quaisquer são congruentes. Proposição 3.10 Consequências dos axiomas de incidência, ordem e congruência 1. (O teorema do triângulo isósceles ) Num triângulo ∆ABC tem se AC ≡ BC se e só se ∠ABC ≡ ∠CAB. C ′′ ′′ B A ⇐⇒ 2. (Existência de ângulos rectos e perpendicular) C Seja r uma recta e P um ponto do plano. Existe uma recta perpendicular a r e incidente em P. Em particular, existem ângulos rectos. 3. (O IV Postulado de Euclides) Todos os ângulos rectos são congruentes. 4. (Unicidade da perpendicular) Seja r uma recta e P um ponto do plano. Existe uma única recta perpendicular a r e incidente em P. 5. (Caso LLL de congruência de triângulos) Se AB ≡ A ′ B ′ , BC ≡ B ′ C ′ e CA ≡ C ′ A ′ , os triângulos ∆ABC e ∆A ′ B ′ C ′ são congruentes. B A C 29 C ′ B ′ − A ′ B A
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Definição . 3.9 Ângulos rectos, rectas perpendiculares<br />
• Dizemosqueumânguloérectosefôrcongruentecomqualquerumdosseussuplementares.<br />
• Dizemos que duas rectas sâo perpendiculares se incidem num ponto O e se o ângulo de<br />
vértice O e cujos lados têm como suporte essas rectas é recto.<br />
Atenção! Note-se que noção de ângulo recto está bem definida por causa da proposição<br />
3.8. Ainda, da proposição 3.8, podemos concluir que se um ângulo for congruente com um<br />
ângulo recto então é recto. Mas ainda não foi provado que dois ângulos rectos quaisquer são<br />
congruentes.<br />
Proposição 3.10 Consequências dos axiomas de incidência, ordem e congruência<br />
1. (O teorema do triângulo isósceles )<br />
Num triângulo ∆ABC tem se AC ≡ BC se e só se ∠ABC ≡ ∠CAB.<br />
C<br />
′′<br />
′′<br />
B<br />
A<br />
⇐⇒<br />
2. (Existência de ângulos rectos e perpendicular)<br />
C<br />
Seja r uma recta e P um ponto do plano. Existe uma recta perpendicular a r e incidente<br />
em P. Em particular, existem ângulos rectos.<br />
3. (O IV Postulado de Euclides) Todos os ângulos rectos são congruentes.<br />
4. (Unicidade da perpendicular) Seja r uma recta e P um ponto do plano. Existe uma única<br />
recta perpendicular a r e incidente em P.<br />
5. (Caso LLL de congruência de triângulos)<br />
Se AB ≡ A ′ B ′ , BC ≡ B ′ C ′ e CA ≡ C ′ A ′ , os triângulos ∆ABC e ∆A ′ B ′ C ′ são congruentes.<br />
B<br />
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