GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Corolário 3.7 A congruência respeita a soma de ângulos
Sejam h+, r+ e k+ (respectivamente h ′ +, r ′ +, k ′ +) três semi-rectas de origem O (respectivamente
O ′ ) com suportes distintos e tais que os pontos incidentes na semirecta r+ (respectivamente na
semirecta r ′ +) são interiores ao ângulo ∠{h+,k+} (respectivamente ao ângulo ∠{h ′ +,k ′ +}).
Então:
O
r+
h+
k+
∠{h+,r+} ≡ ∠{h ′ +,r ′ +}
∠{r+,k+} ≡ ∠{r ′ +,k ′ +}
O
′
=⇒ ∠{h+,k+} ≡ ∠{h ′ +,k ′ +}
(Demonstração)
Considere-se, usando III-3, uma semi-recta h ′′ + incidente no mesmo semi-plano definido por k ′
que r ′ + e tal que
∠{h+,k+} ≡ ∠{h ′′ +,k ′ +}
Aplica-se o teorema 3.6 e o axioma III-3 para deduzir que h ′ + = h ′′ +.
Proposição 3.8 Se dois ângulos são congruentes qualquer dos suplementares de um deles é
congruente com qualquer dos suplementares do outro. Em particular, dois ângulos verticalmente
opostos são congruentes.
(Demonstração)
Sejam h+, r+ semi-rectas de origem O e h ′ + e r ′ + semi-rectas de origem O ′ tais que
∠{h+,r+} ≡ ∠{h ′ +,r ′ +}
Considerem-se pontos A ∈ r+, A ′ ∈ r ′ +, B ∈ h+, B ′ ∈ h ′ +, C ∈ r− e C ′ ∈ r− tais que
C
O
OA ≡ O ′ A ′ OB ≡ O ′ B ′ OC ≡ O ′ C ′
B
A
h+
r+
Usando o critério LAL, obtemos que △ABO ≡ △A ′ B ′ O ′ , em particular ∠OAB ≡ ∠O ′ A ′ B ′ e
AB ≡ A ′ B ′ . Aplicando o axioma III-2 e o critério LAL obtemos então que △CAB ≡ △C ′ A ′ B ′ ,
e, de novo por LAL, que △COB ≡ △C ′ O ′ B ′ , donde
C ′
O ′
∠{r−,h+} ≡ ∠COB ≡ ∠C ′ O ′ B ′ ≡ ∠{r ′ −,h ′ +}
28
B
′
A ′
r ′ +
h ′ +
k ′ +
h ′ +
r ′ +