GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Provemos agora os resultados anunciados:
• Lema I:
O
A
R
B
h+
r+
k+
As semi-rectas h+ e k+ incidem em semi-planos opostos definidos por r (proposição 2.16)
e portanto existe R incidente em r tal que R ∈ AB. Tem-se então que R e A incidem no
mesmo semiplano definido por k e que R e B incidem no mesmo semi-plano definido por
h. O ponto P é interior ao triângulo logo P ∈ r+ (pela proposição 2.16 não pode incidir
em r−).
• Lema II:
O
A
R
B
h+
r+
k+
Seja R ′ o ponto na semi-recta de origem B ′ e incidente em A ′ que verifica RB ≡ R ′ B ′ .
Usando a proposição 3.2, sabemos que R ′ está entre A ′ e B ′ e que A ′ R ′ ≡ AR. R ′ e A ′
incidem assim na mesma semi-recta de origem B ′ e tem-se
O
′
A
′
B ′
R ′
∠O ′ B ′ R ′ ≡ ∠O ′ B ′ A ′ ≡ ∠OBA ≡ ∠OBR
Como R ′ e B ′ incidem na mesma semi-recta de origem A ′ , tem-se
∠O ′ A ′ R ′ ≡ ∠O ′ A ′ B ′ ≡ ∠OAB ≡ ∠OAR
Aplicando o critério LAL aos triângulos △O ′ B ′ R ′ e △OBR e aos triângulos △O ′ A ′ R ′ e
△OAR obtemos
• Lema III:
△ORB ≡ △O ′ R ′ B ′
h ′ +
r ′ +
e △ORA ≡ △O ′ R ′ A ′
A semi-recta r ′ + e o ponto R ′ incidem no mesmo semi-plano definido por k e então, por
III-3, a semi-recta de origem O ′ e incidente em R ′ é igual à semi-recta r ′ +, logo R ′ ∈ r ′ +.
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k ′ +