GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

(Demonstração)
Considere-se um ponto A na semi-recta h+, um ponto B na semi-recta k+, um ponto A ′ na
semi-recta h ′ + e um ponto B ′ na semi-recta k ′ + tais que OA ≡ O ′ A ′′ e OB ≡ O ′ B ′ .
O
Note-se que, por LAL,
A
B
h+
r+
k+
O
′
△OAB ≡ △O ′ A ′ B ′
O teorema deduz-se directamente dos lemas indicados de seguida, cuja demonstração será
indicada ao final:
Lema I Existe um ponto R incidente no segmento AB e na semi-recta r+
Lema II Existe um ponto R ′ incidente no segmento A ′ B ′ e tal que
△ORB ≡ △O ′ R ′ B ′
Lema III O ponto R ′ incide na semi-recta r ′ +
O
A
R
B
Observe-se que, pelo lema III
e, pelo lema II, como
obtemos
h+
r+
k+
A
′
B ′
h ′ +
r ′ +
k ′ +
e △ORA ≡ △O ′ R ′ A ′
O
′
∠{r ′ +,h ′ +} = ∠R ′ O ′ B ′ ,
∠R ′ O ′ A ′ ≡ ∠ROA
∠{r ′ +h ′ +} ≡ ∠{r+h+}
Note-se que r ′ + é interior ao ângulo ∠{k ′ +,h ′ +} porque R ′ é interior a esse ângulo (lema II) e
podemos aplicar a proposição 2.16.
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A
′
B ′
R ′
h ′ +
r ′ +
k ′ +