GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

III. Axiomas de congruência.
III-4 Sejam A, B e C três pontos não colineares e A ′ , B ′ e C ′ três pontos também não colineares.
Se AB ≡ A ′ B ′ , AC ≡ A ′ C ′ e ∠CAB ≡ ∠C ′ A ′ B ′ , tem-se
B
A
∠ABC ≡ ∠A ′ B ′ C ′
C
e ∠BCA ≡ ∠B ′ C ′ A ′
Nota . 3.1
Note-se que, num plano de incidência que verifique os axiomas I, II e III se tem:
1. Dados três pontos A, B1 e B2 do plano, se AB1 ≡ AB2 e B1 e B2 incidem na mesma
semi-recta de origem A, então B1 = B2 (axioma III-1)
2. Dados quatro pontos A, B, C1 e C2, se ∠C1AB ≡ ∠C2AB e C1 e C2 incidem no mesmo
semi-plano definido pela recta < A,B >, então A, C1 e C2 são colineares e incidem na
mesma semi-recta de origem A(axioma III-3)
A partir de agora, chamaremos plano aos planos de incidência que
verificam os grupos de axiomas I, II e III.
Proposição . 3.2 Diferença de segmentos
Sejam A, B e C três pontos tais que B está entre A e C e outros três pontos A ′ , B ′ e C ′ tais
que B ′ e C ′ estão numa semi-recta de origem A ′ . Se AB ≡ A ′ B ′ e AC ≡ A ′ C ′ , então B ′ está
entre A ′ e C ′ e BC ≡ B ′ C ′
(Demonstração)
Considerar o ponto C ′′ na semi-recta oposta à semi-recta de origem B ′ e incidente em A ′
que verifica BC ≡ B ′ C ′′ . Por III-2 tem-se que AC ≡ A ′ C ′′ , e como AC ≡ A ′ C ′ obtemos
A ′ C ′ ≡ A ′ C ′′ . Como C ′ e C ′′ incidem na mesma semi-recta de origem A ′ tem-se que C ′ =C ′′ .
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C ′
B ′
−
A ′