GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

(Demonstração)
1. Directa da definição.
2. Directa a partir da proposição 2.10.
3. Directa a partir da proposição 2.10.
4. Como r+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+}, as semi-rectas r+ e k+ incidem no mesmo semiplano
definido por h e assim r+ e k− incidem em semi-planos opostos definidos por h.
Portanto, dados dois pontos S ∈ k− e R ∈ r+, distintos de O, a recta h intersecta o
segmento SR num ponto T.
k−
S
h+
T
R
O
k+
Note-se que o segmento TR não intersecta a recta k (se intersectar seria no ponto S e
S∈/ TR) e portanto T e R incidem no mesmo semi-plano definido por k. Como R ∈ r+,
e r+ e h+ incidem no mesmo semi-plano definido por k, obtém-se que T incide, de facto,
na semi-recta h+. Recorde-se que R∈/ ST, por tanto S e T incidem no mesmo semi-plano
definido por r, e assim, k− e h+ incidem no mesmo semi-plano definido por k.
5. Directa a partir da alínea anterior e da proposição 2.10.
Exercícios . 2.17
1. Complete as demonstrações das proposições e teoremas enunciados.
2. As semi-rectas são conjuntos infinitos?
3. Prove que as diagonais de um quadrilátero convexo se intersectam num único ponto.
4. Prove que a relação “estar entre” no plano afim real definida em 2.6 verifica efectivamente o grupo
II de axiomas.
5. Prove a seguinte caracterização de paralelismo
Duas rectas distintas são paralelas se e só se todos os pontos incidentes numa delas incidem no
mesmo semi-plano definido pela outra.
6. Seja r uma recta de um plano de incidência que verifica os grupos de axiomas I e II. Sejam O e I
dois pontos distintos e incidentes com r e r+ a semi-recta de origem O e incidente em I. Sejam
X e Y pontos incidentes com a recta r
• se X ∈ r+ ou X = O e Y ∈ r− ou Y = 0, dizemos que Y é menor o igual que X;
• se X,Y ∈ r+ e Y ∈ OX dizemos que Y é menor o igual que X;
• se X,Y ∈ r− e X ∈ OY dizemos que Y é menor o igual que X.
Prove que esta relação “menor ou igual” é uma relação de ordem total no conjunto dos pontos
incidentes com r.
20
r+