GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

Proposição 2.10 Incidência de semi-rectas e semi-planos
Sejam h e r duas rectas distintas do plano incidentes num ponto O. Dois pontos A e A ′ de r,
distintos de O, incidem na mesma semi-recta definida em r de origem O se e só se incidem no
mesmo semi-plano definido por h.
r−
O
A
A ′
r+
h O
r− A
Poroutraspalavras, nascondiçõesdaproposição, ospontos incidentesnumasemi-rectaincidem
no mesmo semi-plano e os pontos incidentes em semi-rectas opostas incidem em semi-planos
opostos.
(Demonstração)
r e h distintas portanto o único ponto que poderia incidir em AA ′ e h é precisamente O. Aplicar
II-3 e < A,A ′ > =/ h.
Definição . 2.11 Ângulo
Sejam r e r ′ duas rectas distintas incidentes num ponto O, P e P ′ dois pontos distintos de O e
incidentes, respectivamente, em r e r ′ . Chamamos ângulo definido por P, O e P ′ e designamos
por ∠POP ′ à intersecção do semiplano definido por r que incide em P ′ e o semiplano definido
por r ′ que incide em P.
Note-se que esta definição é simétrica em relação ao P e P ′ , isto é,
r
r ′
O
P ′
P
∠POP ′ = ∠P ′ OP.
Proposição 2.12 Sejam r e r ′ duas rectas distintas incidentes num ponto O. Sejam P e R
dois pontos incidentes em r, P ′ e R ′ dois pontos incidentes em r ′ tais que P e R estão na
mesma semi-recta definida por O e P ′ e R ′ estão na mesma semi-recta definida por O, então:
r
(Demonstração)
Directa a partir da proposição 2.10.
r ′
∠POP ′ = ∠ROR ′
O
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R ′
P
P ′
R
A ′
r+
h