GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

(Demonstração)
1. A relação é reflexiva por definição e simétrica por 2.3.
Para verificar a transitividade, use o lema fundamental.
Finalmente, note-se que existem B e B ′ tais que O ∈ BB ′ . Usando o lema fundamental,
se X é um ponto da recta, tem-se uma e uma só das possibilidades seguintes: incide na
mesma semi-recta de origem O que B ou X incide na um ponto mesma semi-recta de
origem O que B ′ )
2. De novo, a reflexividade e simetria são directas.
A transitividade deduz-se do axioma de Pasch, se os pontos formam triângulo, ou do lema
fundamental, se os pontos são colineares.
Finalmente, note-se que existem P e P ′ não incidentes em r tais que a recta r intersecta
o segmento PP ′ . Se R for um ponto do plano não incidente em r, usando o lema fundamental
ou a alínea 3 do teorema 2.5, tem-se uma e uma só das possibilidades seguintes:
r intersecta PR ou r intersecta P ′ R.
Definição . 2.9 Semi-rectas, semi-planos
1. Sejam r uma recta e O um ponto incidente em r. Chamamos semi-recta definida em
r de origem O a cada uma das duas classes de equivalência para a relação definida em
2.7, alínea 1. Dado um ponto P distinto de O, designar-se-á por [O,P > a classe de
equivalência de P e diremos que [O,P > é a semi-recta de origem O incidente em P.
O
Para simplificar as notações e se não houver ambiguidade, as duas classes de equivalência
definidas numa recta r por um ponto O designar-se-ão as vezes por r+ e r−. Diremos que
r+ e r− são semi-rectas opostas e que a recta r é a recta suporte das semi-rectas.
r+
2. Seja r uma recta do plano. Chamamos semi-plano definido por r a cada uma das duas
classes de equivalência para a relação definida em 2.7, alínea 2. Dado um ponto P não
incidente em r, designar-se-á por HP a classe de equivalência de P e diremos que HP é
o semiplano definido por r que incide em P.
16
O
P
r+
r−